& [2,0 pts.] 5) Seja \
& \vec{G}(x, y, z)=\left(\frac{z}{y^{2} x}-\frac{y \sqrt{z} e^{1 / x}}{x^{2}}\right) \hat{\imath}+\left(\sqrt{z} e^{1 / x}-\frac{2 z \ln x}{y^{3}}\right) \hat{\jmath}+\left(\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1 / x}}{2 \sqrt{z}}\right) \hat{k}
\end{aligned}
]
Verifique se \vec{G} é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial U tal que \vec{G}=\vec{\nabla} U.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{G}(x,y,z)=\left(\frac{z}{y^{2}x}-\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}\right)\hat{\imath}+\left(\sqrt{z}\,e^{1/x}-\frac{2z\ln x}{y^{3}}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}\right)\hat{k}.
O que se pede:
  1. Verificar se \vec{G} é conservativo e em quais regiões (ou conjuntos) isso ocorre.
  2. Se for conservativo, escolher uma região e calcular uma função potencial U tal que \vec{G}=\nabla U.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (restrições imediatas na definição do campo):
  • Aparecem \ln x e e^{1/x} — portanto é necessário x\neq0, e para \ln x real precisamos de x>0.
  • Aparecem fatores y^{2}, y^{3} no denominador — logo y\neq0.
  • Aparecem \sqrt{z} no denominador — para \sqrt{z} real precisamos de z>0.
Conclusão imediata: o campo está definido, em números reais, apenas onde x>0, y\neq0 e z>0. A partir daqui começo a resolução.

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática curta e intuitiva).
  • Um campo vetorial \vec{G} com componentes suficientemente suaves é conservativo num conjunto se existe uma função U tal que \vec{G}=\nabla U. Uma maneira prática de testar isso é calcular o rotacional (curl) \nabla\times\vec{G}: se \nabla\times\vec{G}=\vec{0} em uma região simplesmente conexa onde \vec{G} é definido, então \vec{G} é conservativo nessa região.
  • “Simplesmente conexa” quer dizer, intuitivamente, que o conjunto não tem buracos: qualquer laço pode ser continuamente encolhido a um ponto sem sair da região. Por exemplo, o conjunto \{(x,y,z):x>0,y>0,z>0\} (o octante positivo) é simplesmente conexo.
    Vou então calcular \nabla\times\vec{G} na região de definição D=\{(x,y,z)\mid x>0,\\ y\neq0,\\ z>0\} e depois comentar sobre componentes de D que sejam simplesmente conexas.

Passo 3

Cálculo do rotacional — componente x.
Definimos as componentes G_1,G_2,G_3 por
G_1=\frac{z}{y^{2}x}-\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}},\qquad G_2=\sqrt{z}\,e^{1/x}-\frac{2z\ln x}{y^{3}},\qquad G_3=\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}.
A componente x do rotacional é \displaystyle (\nabla\times\vec{G})_x=\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z}.
Calculo \frac{\partial G_3}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}\right) = -\frac{2\ln x}{y^{3}}+\frac{e^{1/x}}{2\sqrt{z}}.
Calculo \frac{\partial G_2}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\sqrt{z}\,e^{1/x}-\frac{2z\ln x}{y^{3}}\right) = \frac{e^{1/x}}{2\sqrt{z}}-\frac{2\ln x}{y^{3}}.
Subtraindo:
\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z} =\left(-\frac{2\ln x}{y^{3}}+\frac{e^{1/x}}{2\sqrt{z}}\right) -\left(\frac{e^{1/x}}{2\sqrt{z}}-\frac{2\ln x}{y^{3}}\right)=0.
Logo (\nabla\times\vec{G})_x=0.

Passo 4

Cálculo do rotacional — componente y.
A componente y do rotacional é \displaystyle (\nabla\times\vec{G})_y=\frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x}.
Calculo \frac{\partial G_1}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{z}{y^{2}x}-\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}\right) =\frac{1}{y^{2}x}-\frac{y e^{1/x}}{2x^{2}\sqrt{z}}.
Calculo \frac{\partial G_3}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}\right) =\frac{1}{x y^{2}}-\frac{y e^{1/x}}{2x^{2}\sqrt{z}}.
Subtraindo:
\frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x} =\left(\frac{1}{y^{2}x}-\frac{y e^{1/x}}{2x^{2}\sqrt{z}}\right) -\left(\frac{1}{x y^{2}}-\frac{y e^{1/x}}{2x^{2}\sqrt{z}}\right)=0.
Logo (\nabla\times\vec{G})_y=0.

Passo 5

Cálculo do rotacional — componente z.
A componente z do rotacional é \displaystyle (\nabla\times\vec{G})_z=\frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y}.
Calculo \frac{\partial G_2}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\sqrt{z}\,e^{1/x}-\frac{2z\ln x}{y^{3}}\right) = -\frac{\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}-\frac{2z}{x y^{3}}.
Calculo \frac{\partial G_1}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{z}{y^{2}x}-\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}\right) = -\frac{2z}{x y^{3}}-\frac{\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}.
Subtraindo:
\frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y} =\left(-\frac{\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}-\frac{2z}{x y^{3}}\right) -\left(-\frac{2z}{x y^{3}}-\frac{\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}\right)=0.
Logo (\nabla\times\vec{G})_z=0.

Passo 6

Conclusão sobre o rotacional e sobre onde o campo é conservativo.
Encontramos \nabla\times\vec{G}=\vec{0} em toda a região onde o campo está definido (ou seja, em D=\{(x,y,z)\mid x>0,\\ y\neq0,\\ z>0\}). Portanto, em qualquer subconjunto aberto e simplesmente conexo de D o campo é conservativo. Observação prática: D tem duas componentes em relação a y (uma com y>0 e outra com y<0), então devemos escolher uma dessas componentes (ou uma porção dentro delas) que seja simplesmente conexa. Um exemplo conveniente é a região
R=\{(x,y,z)\mid x>0,\\ y>0,\\ z>0\},
que é simplesmente conexa — portanto \vec{G} é conservativo em R.

Passo 7

Escolha da região e cálculo do potencial: integração da componente G_1 em x.
Escolho a região R=\{x>0,y>0,z>0\}. Vou procurar U(x,y,z) tal que \nabla U=\vec{G}. Começo integrando G_1 em relação a x (método padrão: integrar uma componente e depois ajustar com funções “constantes” das outras variáveis).
Integro
G_1=\frac{z}{y^{2}x}-\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}
em x.
Primeiro termo:
\int \frac{z}{y^{2}x}\,dx=\frac{z}{y^{2}}\int\frac{1}{x}\,dx=\frac{z\ln x}{y^{2}}.
Segundo termo: faço a substituição u=\frac{1}{x} para integrar \displaystyle -\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}.
Detalhe da substituição: se u=1/x então du=-\frac{1}{x^{2}}dx, ou seja \frac{dx}{x^{2}}=-du. Assim
\int -\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = -y\sqrt{z}\int \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx = -y\sqrt{z}\int e^{u}(-du) = y\sqrt{z}\,e^{u} = y\sqrt{z}\,e^{1/x}.
Somando os dois resultados e incluindo uma “constante de integração” que pode depender de y e z, obtemos
U(x,y,z)=\frac{z\ln x}{y^{2}}+y\sqrt{z}\,e^{1/x}+C(y,z),
onde C é ainda desconhecida (funcão apenas de y e z).

Passo 8

Determinar C(y,z) usando a condição \partial U/\partial y = G_2.
Calculo \frac{\partial U}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{z\ln x}{y^{2}}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(y\sqrt{z}\,e^{1/x}\right) + \frac{\partial C}{\partial y}.
Isso dá
\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{2z\ln x}{y^{3}}+\sqrt{z}\,e^{1/x}+C_y(y,z).
Deve ser igual a G_2=\sqrt{z}\,e^{1/x}-\dfrac{2z\ln x}{y^{3}}. Comparando, obtemos
C_y(y,z)=0,
isto é, C não depende de y; logo C(y,z)=k(z) para alguma função k só de z.

Passo 9

Determinar k(z) usando \partial U/\partial z = G_3.
Agora escrevemos
U(x,y,z)=\frac{z\ln x}{y^{2}}+y\sqrt{z}\,e^{1/x}+k(z).
Calculamos \partial U/\partial z:
\frac{\partial U}{\partial z}=\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}+k'(z).
Devemos ter \partial U/\partial z=G_3=\dfrac{\ln x}{y^{2}}+\dfrac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}. Portanto
k'(z)=0,
ou seja k(z)= constante. Assim a função potencial final é (até uma constante aditiva)
U(x,y,z)=\frac{z\ln x}{y^{2}}+y\sqrt{z}\,e^{1/x}+C,
com C constante real.

Passo 10

Verificação rápida (sanity check).
Se você derivar U parcialmente em x,y,z verá que:
\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{z}{y^{2}x}-\frac{y\sqrt{z}\,e^{1/x}}{x^{2}}=G_1,
\frac{\partial U}{\partial y}=\sqrt{z}\,e^{1/x}-\frac{2z\ln x}{y^{3}}=G_2,
\frac{\partial U}{\partial z}=\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1/x}}{2\sqrt{z}}=G_3,
confirmando que \nabla U=\vec{G} na região escolhida.

Resposta

\vec{G} é conservativo em qualquer subconjunto aberto e simplesmente conexo de D=\{(x,y,z)\mid x>0,\;y\neq0,\;z>0\} (por exemplo no região x>0,\;y>0,\;z>0).
Um potencial em R=\{x>0,\;y>0,\;z>0\} é
U(x,y,z)=\frac{z\ln x}{y^{2}}+y\sqrt{z}\,e^{1/x}+C,
com C constante.

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