& [2,0 pts.] 5) Seja \
& \vec{G}(x, y, z)=\left(\frac{z}{y^{2} x}-\frac{y \sqrt{z} e^{1 / x}}{x^{2}}\right) \hat{\imath}+\left(\sqrt{z} e^{1 / x}-\frac{2 z \ln x}{y^{3}}\right) \hat{\jmath}+\left(\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1 / x}}{2 \sqrt{z}}\right) \hat{k}
\end{aligned}
]
Verifique se
é conservativo, e em quais regiões. Se for, escolha uma região para calcular um potencial
tal que
.
& \vec{G}(x, y, z)=\left(\frac{z}{y^{2} x}-\frac{y \sqrt{z} e^{1 / x}}{x^{2}}\right) \hat{\imath}+\left(\sqrt{z} e^{1 / x}-\frac{2 z \ln x}{y^{3}}\right) \hat{\jmath}+\left(\frac{\ln x}{y^{2}}+\frac{y e^{1 / x}}{2 \sqrt{z}}\right) \hat{k}
\end{aligned}
]
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
O que se pede:
- Verificar se
é conservativo e em quais regiões (ou conjuntos) isso ocorre. - Se for conservativo, escolher uma região e calcular uma função potencial
tal que .
Informações relevantes dadas pelo enunciado (restrições imediatas na definição do campo):
- Aparecem
e — portanto é necessário , e para real precisamos de . - Aparecem fatores
, no denominador — logo . - Aparecem
no denominador — para real precisamos de .
Conclusão imediata: o campo está definido, em números reais, apenas onde
,
e
. A partir daqui começo a resolução.
Passo 2
Conceito e estratégia (explicação didática curta e intuitiva).
- Um campo vetorial
com componentes suficientemente suaves é conservativo num conjunto se existe uma função tal que . Uma maneira prática de testar isso é calcular o rotacional (curl) : se em uma região simplesmente conexa onde é definido, então é conservativo nessa região. - “Simplesmente conexa” quer dizer, intuitivamente, que o conjunto não tem buracos: qualquer laço pode ser continuamente encolhido a um ponto sem sair da região. Por exemplo, o conjunto
(o octante positivo) é simplesmente conexo.
Vou então calcularna região de definição e depois comentar sobre componentes de que sejam simplesmente conexas.
Passo 3
Cálculo do rotacional — componente
.
Definimos as componentes por
Definimos as componentes
A componente
do rotacional é
.
Calculo
:
Calculo
:
Subtraindo:
Logo
.
Passo 4
Cálculo do rotacional — componente
.
A componente do rotacional é
.
A componente
Calculo
:
Calculo
:
Subtraindo:
Logo
.
Passo 5
Cálculo do rotacional — componente
.
A componente do rotacional é
.
A componente
Calculo
:
Calculo
:
Subtraindo:
Logo
.
Passo 6
Conclusão sobre o rotacional e sobre onde o campo é conservativo.
Encontramos em toda a região onde o campo está definido (ou seja, em
). Portanto, em qualquer subconjunto aberto e simplesmente conexo de
o campo é conservativo. Observação prática:
tem duas componentes em relação a
(uma com
e outra com
), então devemos escolher uma dessas componentes (ou uma porção dentro delas) que seja simplesmente conexa. Um exemplo conveniente é a região
Encontramos
que é simplesmente conexa — portanto
é conservativo em
.
Passo 7
Escolha da região e cálculo do potencial: integração da componente
em
.
Escolho a região . Vou procurar
tal que
. Começo integrando
em relação a
(método padrão: integrar uma componente e depois ajustar com funções “constantes” das outras variáveis).
Escolho a região
Integro
em
.
Primeiro termo:
Segundo termo: faço a substituição
para integrar
.
Detalhe da substituição: se então
, ou seja
. Assim
Detalhe da substituição: se
Somando os dois resultados e incluindo uma “constante de integração” que pode depender de
e
, obtemos
onde
é ainda desconhecida (funcão apenas de
e
).
Passo 8
Determinar
usando a condição
.
Calculo a partir da expressão encontrada:
Calculo
Isso dá
Deve ser igual a
. Comparando, obtemos
isto é,
não depende de
; logo
para alguma função
só de
.
Passo 9
Determinar
usando
.
Agora escrevemos
Agora escrevemos
Calculamos
:
Devemos ter
. Portanto
ou seja
constante. Assim a função potencial final é (até uma constante aditiva)
com
constante real.
Passo 10
Verificação rápida (sanity check).
Se você derivar parcialmente em
verá que:
Se você derivar
confirmando que
na região escolhida.
Resposta
Um potencial em
com
constante.