Exercício (1(3,0)). Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(3 x)}-1}{\operatorname{sen}(6 x)}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\operatorname{sen}(3x)}-1}{\operatorname{sen}(6x)}.
Informações dadas e o que o problema quer:
  • Temos a função no numerador e^{\operatorname{sen}(3x)}-1.
  • Temos a função no denominador \operatorname{sen}(6x).
  • Queremos o valor do limite quando x tende a 0.
  • Não há outras condições ou dados; o limite é o único pedido.

Passo 2

Ferramenta importante 1: o limite fundamental envolvendo a exponencial. Vou te ensinar e justificar:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Por que isso é verdade? Intuitivamente, a exponencial tem derivada 1 em 0, e a definição da derivada de e^t em t=0 é exatamente esse limite. Outra forma: expandindo em série de Taylor (uma ideia equivalente que você pode usar na prova se souber)
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\cdots,
então
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\cdots \longrightarrow 1 \quad\text{quando }t\to 0.
Aqui t é uma variável que tende a zero. Guarde essa igualdade — ela vai entrar direto na nossa conta.

Passo 3

Ferramenta importante 2: o limite trigonométrico pequeno ângulo
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Isso expressa que, para ângulos pequenos, \sin u se comporta como u. Também podemos usar a identidade trigonométrica
\sin(6x)=2\sin(3x)\cos(3x),
que é útil para relacionar \sin(6x) com \sin(3x). Aqui a identidade veio da fórmula de duplicação \sin(2a)=2\sin a\cos a aplicada com a=3x.

Passo 4

Estratégia algébrica (não assuste — é só multiplicar e dividir por algo conveniente). Vou separar o limite em dois fatores multiplicativos que já conhecemos:
\frac{e^{\sin(3x)}-1}{\sin(6x)} = \frac{e^{\sin(3x)}-1}{\sin(3x)}\cdot\frac{\sin(3x)}{\sin(6x)}.
Isso é legal porque multiplico e divido por \sin(3x) (que tende a 0 quando x\to 0), permitindo usar o limite da exponencial no primeiro fator e a identidade trigonométrica no segundo. Pela propriedade do limite do produto, se cada fator tem limite, o produto tem limite igual ao produto dos limites.

Passo 5

Avaliação do primeiro fator:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(3x)}-1}{\sin(3x)}.
Faça a substituição t=\sin(3x). Quando x\to 0 temos t\to 0. Pelo resultado do Passo 2,
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1,
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\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(3x)}-1}{\sin(3x)}=1.
Expliquei antes: isso é só usar o limite da exponencial com t=\sin(3x).

Passo 6

Avaliação do segundo fator usando identidade trigonométrica:
\frac{\sin(3x)}{\sin(6x)}=\frac{\sin(3x)}{2\sin(3x)\cos(3x)}=\frac{1}{2\cos(3x)},
desde que \sin(3x)\neq 0, e isso vale num entorno de 0 (exceto no próprio zero, mas o limite considera aproximação). Agora avalia-se o limite de 1/(2\cos(3x)) quando x\to 0. Como \cos(3x)\to \cos 0=1, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\sin(6x)}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Combina os limites (produto):
\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(3x)}-1}{\sin(6x)} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(3x)}-1}{\sin(3x)}\right)\cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\sin(6x)}\right) =1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite pedido é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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