Exercício (1(3,0)). Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(3 x)}-1}{\operatorname{sen}(6 x)}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen}(3 x)}-1}{\operatorname{sen}(6 x)}
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas e o que o problema quer:
- Temos a função no numerador
. - Temos a função no denominador
. - Queremos o valor do limite quando
tende a . - Não há outras condições ou dados; o limite é o único pedido.
Passo 2
Ferramenta importante 1: o limite fundamental envolvendo a exponencial. Vou te ensinar e justificar:
Por que isso é verdade? Intuitivamente, a exponencial tem derivada
em
, e a definição da derivada de
em
é exatamente esse limite. Outra forma: expandindo em série de Taylor (uma ideia equivalente que você pode usar na prova se souber)
então
Aqui
é uma variável que tende a zero. Guarde essa igualdade — ela vai entrar direto na nossa conta.
Passo 3
Ferramenta importante 2: o limite trigonométrico pequeno ângulo
Isso expressa que, para ângulos pequenos,
se comporta como
. Também podemos usar a identidade trigonométrica
que é útil para relacionar
com
. Aqui a identidade veio da fórmula de duplicação
aplicada com
.
Passo 4
Estratégia algébrica (não assuste — é só multiplicar e dividir por algo conveniente). Vou separar o limite em dois fatores multiplicativos que já conhecemos:
Isso é legal porque multiplico e divido por
(que tende a
quando
), permitindo usar o limite da exponencial no primeiro fator e a identidade trigonométrica no segundo. Pela propriedade do limite do produto, se cada fator tem limite, o produto tem limite igual ao produto dos limites.
Passo 5
Avaliação do primeiro fator:
Faça a substituição
. Quando
temos
. Pelo resultado do Passo 2,
logo
Expliquei antes: isso é só usar o limite da exponencial com
.
Passo 6
Avaliação do segundo fator usando identidade trigonométrica:
desde que
, e isso vale num entorno de
(exceto no próprio zero, mas o limite considera aproximação). Agora avalia-se o limite de
quando
. Como
, temos
Passo 7
Combina os limites (produto):
Portanto o limite pedido é
.