Mude as coordenadas:
Retangulares para cilíndricas do ponto (-3,3,-2)
Retangulares para cilíndricas do ponto (-3,3,-2)
Passo 1
O enunciado pede para mudar as coordenadas retangulares para cilíndricas do ponto dado.
Dados fornecidos (coordenadas retangulares): ,
,
.
Objetivo final: encontrar os valores de ,
e
que representam o mesmo ponto nas coordenadas cilíndricas.
Dados fornecidos (coordenadas retangulares):
Objetivo final: encontrar os valores de
Passo 2
Definição e convenções que usaremos (muito importantes para a prova):
A relação entre coordenadas retangulares e cilíndricas
é dada por
A relação entre coordenadas retangulares
Explicação:
é a distância do ponto à origem projetado no plano
;
é o ângulo formado pelo vetor posição projetado no plano
com o eixo
. Convencionamos
e
tomado no intervalo
(ou qualquer representação equivalente, lembrando que
é definido módulo
).
Passo 3
Cálculo de
. Usamos a fórmula
com os valores dados.
Comentário rápido: eu computei
e
, somei e simplifiquei a raiz.
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro encontro a tangente do ângulo:
A função arctan básica dá
, mas atenção: esse valor está no quadrante IV, enquanto o ponto
está no quadrante II (porque
e
). Então precisamos ajustar o ângulo para ficar no quadrante correto. A regra prática é usar a função
ou, manualmente, somar
quando
.
Como
e
, adicionamos
:
Portanto escolhemos
, que está em
e corresponde ao segundo quadrante.
Passo 5
Cálculo de
. Em coordenadas cilíndricas o valor de
é igual ao
cartesiano, então
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calculo
e
a partir de
para checar.
Deu exatamente
, então a conversão está correta.
Passo 7
Resumo final: as coordenadas cilíndricas que representam o ponto dado, usando
e
, são