Mude as coordenadas:
Retangulares para cilíndricas do ponto (-3,3,-2)

Passo 1

O enunciado pede para mudar as coordenadas retangulares para cilíndricas do ponto dado.
Dados fornecidos (coordenadas retangulares): x=-3, y=3, z=-2.
Objetivo final: encontrar os valores de r, \theta e z que representam o mesmo ponto nas coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Definição e convenções que usaremos (muito importantes para a prova):
A relação entre coordenadas retangulares (x,y,z) e cilíndricas (r,\theta,z) é dada por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\theta=\text{ângulo no plano }xy\text{ medido a partir do eixo }x,â
z=\text{mesmo valor em ambas as representações.}çõ
Explicação: r é a distância do ponto à origem projetado no plano xy; \theta é o ângulo formado pelo vetor posição projetado no plano xy com o eixo x. Convencionamos r\ge 0 e \theta tomado no intervalo [0,2\pi) (ou qualquer representação equivalente, lembrando que \theta é definido módulo 2\pi).

Passo 3

Cálculo de r. Usamos a fórmula \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; com os valores dados.
r=\sqrt{(-3)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Comentário rápido: eu computei (-3)^{2}=9 e 3^{2}=9, somei e simplifiquei a raiz.

Passo 4

Cálculo de \theta. Primeiro encontro a tangente do ângulo:
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{3}{-3}=-1.
A função arctan básica dá \arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}, mas atenção: esse valor está no quadrante IV, enquanto o ponto (x,y)=(-3,3) está no quadrante II (porque x<0 e y>0). Então precisamos ajustar o ângulo para ficar no quadrante correto. A regra prática é usar a função \operatorname{atan2}(y,x) ou, manualmente, somar \pi quando x<0.
Como x<0 e y>0, adicionamos \pi:
\theta=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}.
Portanto escolhemos \theta=\frac{3\pi}{4}, que está em [0,2\pi) e corresponde ao segundo quadrante.

Passo 5

Cálculo de z. Em coordenadas cilíndricas o valor de z é igual ao z cartesiano, então
z=-2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calculo x e y a partir de (r,\theta) para checar.
x=r\cos\theta=3\sqrt{2}\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=3\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3,
y=r\sin\theta=3\sqrt{2}\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=3\sqrt{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3.
Deu exatamente (x,y)=(-3,3), então a conversão está correta.

Passo 7

Resumo final: as coordenadas cilíndricas que representam o ponto dado, usando r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi), são
\left( r,\theta,z \right)=\left(3\sqrt{2},\,\frac{3\pi}{4},\,-2\right).

Resposta

\left(3\sqrt{2},\,\frac{3\pi}{4},\,-2\right)

Exercícios relacionados