Mude as coordenadas:
Cilíndricas para retangulares do ponto \left(2, \frac{5 \pi}{4}, 3\right)

Passo 1

O enunciado pede para transformar as coordenadas cilíndricas do ponto \left(2,\frac{5\pi}{4},3\right) em coordenadas retangulares.
Dados fornecidos: \;r=2,\;\theta=\frac{5\pi}{4},\;z=3.

Passo 2

Fórmulas de conversão (essas são as que usamos):
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
z = z
Explicando rápido o que cada coisa significa: \;r é a distância do ponto ao eixo z (ou seja, o raio na projeção no plano xy), \theta é o ângulo medido a partir do eixo x até o raio no plano xy, e \;z é a altura (mesmo valor nas duas coordenadas). As fórmulas vêm de projetar o vetor radial no eixo x e no eixo y.

Passo 3

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\frac{5\pi}{4}.
Observação sobre o ângulo: \frac{5\pi}{4} está no terceiro quadrante (porque \pi<\frac{5\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}). O ângulo de referência é \frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{\pi}{4}. Sabemos que
\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
No terceiro quadrante tanto o cosseno quanto o seno são negativos. Logo
\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Substituir nas fórmulas:
x = r\cos\theta = 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2},
y = r\sin\theta = 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2},
z = 3.
Detalhe da simplificação: 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, daí vem o resultado.

Passo 5

Checagem rápida (para você ter segurança na prova): calcule \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2, que confirma \;r=2. O ângulo obtido por \operatorname{atan2}(y,x) com x<0,y<0 corresponde a \theta=\frac{5\pi}{4}, então tudo bate certinho.

Resposta

\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2},3\right)

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