1. [2 pts] Sejam \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}} vetores não nulos mutuamente ortogonais no espaço. Solucione os itens seguintes:
(b) Decorre do item anterior que todo vetor \vec{w} do espaço se escreve, de maneira única, como combinação linear de \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}}, isto é, existem escalares \lambda_{1}, \lambda_{2} e \lambda_{3} tais que \vec{w}=\lambda_{1} \overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3} \overrightarrow{v_{3}}. Mostre que
\lambda_{i}=\frac{\left\langle\overrightarrow{v_{i}}, \vec{w}\right\rangle}{\left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}}, \quad i=1,2,3

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados:
    • \overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}},\\ \overrightarrow{v_{3}} são vetores não nulos e mutuamente ortogonais (ou seja, para i\neq j vale \langle \overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{j}}\rangle=0).
    • Todo vetor \vec{w} do espaço pode ser escrito como combinação linear \vec{w}=\lambda_{1}\,\overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2}\,\overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3}\,\overrightarrow{v_{3}},para alguns escalares \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}.
  • Pedido:
    • Mostrar que, para i=1,2,3, \lambda_{i}=\frac{\left\langle\overrightarrow{v_{i}}, \vec{w}\right\rangle}{\left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}}.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas do produto interno e da norma (coisas que vamos usar, explicadas de forma direta):
  • Definição de norma a partir do produto interno: \left\|\overrightarrow{v}\right\|^{2}=\left\langle\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}\right\rangle.Como cada \overrightarrow{v_{i}} é não nulo, tem-se \left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}>0.
  • Linearidade no segundo argumento (usada aqui; em espaço real o produto interno é bilinear e simétrico): \langle u,\alpha x+\beta y\rangle=\alpha\langle u,x\rangle+\beta\langle u,y\rangle,para escalares \alpha,\beta e vetores u,x,y.
  • Ortogonalidade significa: \langle \overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{j}}\rangle=0\quad\text{se }i\neq j.

Passo 3

Começamos a manipular a combinação linear dada. Pegue a identidade
\vec{w}=\lambda_{1}\,\overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2}\,\overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3}\,\overrightarrow{v_{3}}
e aplique o produto interno com \overrightarrow{v_{i}} (para um índice fixo i\in\{1,2,3\}):
\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\vec{w}\right\rangle=\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\lambda_{1}\overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2}\overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3}\overrightarrow{v_{3}}\right\rangle.

Passo 4

Use a linearidade do produto interno no segundo argumento para distribuir a soma e os escalares:
\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\vec{w}\right\rangle =\lambda_{1}\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{1}}\right\rangle +\lambda_{2}\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{2}}\right\rangle +\lambda_{3}\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{3}}\right\rangle.

Passo 5

Agora use a ortogonalidade dos \overrightarrow{v_{j}}: todos os termos com j\neq i são zero. Assim sobra apenas o termo j=i:
\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\vec{w}\right\rangle=\lambda_{i}\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{i}}\right\rangle.
Pelo item do Passo 2, \left\langle\overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{i}}\right\rangle=\left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}>0.

Passo 6

Isolando \lambda_{i} na equação do Passo 5 obtemos a fórmula desejada:
\lambda_{i}=\frac{\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\vec{w}\right\rangle}{\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{i}}\right\rangle} =\frac{\left\langle\overrightarrow{v_{i}},\vec{w}\right\rangle}{\left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}},
válida para i=1,2,3. A divisão é legítima porque \left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}>0.

Passo 7

Intuição e exemplo rápido para fixar: a razão \dfrac{\langle \overrightarrow{v_{i}},\vec w\rangle}{\|\overrightarrow{v_{i}}\|} é a componente projetada de \vec w na direção de \overrightarrow{v_{i}} multiplicada por \|\overrightarrow{v_{i}}\|. Em particular, se os \overrightarrow{v_{i}} forem ortogonais e unitários (norma 1), a fórmula simplifica para \lambda_{i}=\langle \overrightarrow{v_{i}},\vec w\rangle.
Exemplo numérico simples: tome \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,0),\\ \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,0),\\ \overrightarrow{v_{3}}=(0,0,3) e \vec w=(4,6,9). Então
\lambda_{1}=\frac{\langle(1,0,0),(4,6,9)\rangle}{\|(1,0,0)\|^{2}}=\frac{4}{1}=4,
\lambda_{2}=\frac{\langle(0,2,0),(4,6,9)\rangle}{\|(0,2,0)\|^{2}}=\frac{12}{4}=3,
\lambda_{3}=\frac{\langle(0,0,3),(4,6,9)\rangle}{\|(0,0,3)\|^{2}}=\frac{27}{9}=3,
e de fato \vec w = 4\,(1,0,0)+3\,(0,2,0)+3\,(0,0,3).

Resposta

\lambda_{i}=\dfrac{\left\langle\overrightarrow{v_{i}}, \vec{w}\right\rangle}{\left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}},\quad i=1,2,3

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