[2 pts] Sejam \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}} vetores não nulos mutuamente ortogonais no espaço. Solucione os itens seguintes:
(b) Decorre do item anterior que todo vetor \vec{w} do espaço se escreve, de maneira única, como combinação linear de \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}}, isto é, existem escalares \lambda_{1}, \lambda_{2} e \lambda_{3} tais que \vec{w}=\lambda_{1} \overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3} \overrightarrow{v_{3}}. Mostre que
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
\overrightarrow{v_{1}},\\ \overrightarrow{v_{2}},\\ \overrightarrow{v_{3}} são vetores não nulos e mutuamente ortogonais (ou seja, para i\neq j vale \langle \overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{j}}\rangle=0).
Todo vetor \vec{w} do espaço pode ser escrito como combinação linear\vec{w}=\lambda_{1}\,\overrightarrow{v_{1}}+\lambda_{2}\,\overrightarrow{v_{2}}+\lambda_{3}\,\overrightarrow{v_{3}},para alguns escalares \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}.
Pedido:
Mostrar que, para i=1,2,3,\lambda_{i}=\frac{\left\langle\overrightarrow{v_{i}}, \vec{w}\right\rangle}{\left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}}.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas do produto interno e da norma (coisas que vamos usar, explicadas de forma direta):
Definição de norma a partir do produto interno:\left\|\overrightarrow{v}\right\|^{2}=\left\langle\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}\right\rangle.Como cada \overrightarrow{v_{i}} é não nulo, tem-se \left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}>0.
Linearidade no segundo argumento (usada aqui; em espaço real o produto interno é bilinear e simétrico):\langle u,\alpha x+\beta y\rangle=\alpha\langle u,x\rangle+\beta\langle u,y\rangle,para escalares \alpha,\beta e vetores u,x,y.
Ortogonalidade significa:\langle \overrightarrow{v_{i}},\overrightarrow{v_{j}}\rangle=0\quad\text{se }i\neq j.
Passo 3
Começamos a manipular a combinação linear dada. Pegue a identidade
válida para i=1,2,3. A divisão é legítima porque \left\|\overrightarrow{v_{i}}\right\|^{2}>0.
Passo 7
Intuição e exemplo rápido para fixar: a razão \dfrac{\langle \overrightarrow{v_{i}},\vec w\rangle}{\|\overrightarrow{v_{i}}\|} é a componente projetada de \vec w na direção de \overrightarrow{v_{i}} multiplicada por \|\overrightarrow{v_{i}}\|. Em particular, se os \overrightarrow{v_{i}} forem ortogonais e unitários (norma 1), a fórmula simplifica para \lambda_{i}=\langle \overrightarrow{v_{i}},\vec w\rangle.
Exemplo numérico simples: tome \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,0),\\ \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,0),\\ \overrightarrow{v_{3}}=(0,0,3) e \vec w=(4,6,9). Então