[3 pts] Faça um esboço detalhado da região \mathcal{R} do plano dada pelo sistema de inequações:
\mathcal{R}:\left\{\begin{array}{l} x^{2}-20 x+y+100 \geq 0, \\\ x^{2}-y^{2}-6 x \geq 0, \\\ x^{2}+16 y^{2}-6 x-7 \geq 0, \\\ x \leq 10, \\\ y \geq-4 . \end{array}\right.
Observação: Na questão 4, haverá avaliação quanto ao detalhamento dos cálculos, pontuando também os elementos das cônicas (como, por exemplo, os vértices, as retas focais, as retas não focais, etc…) quando for o caso.
Passo 1
O enunciado pede um esboço detalhado da região \mathcal{R} do plano dada pelo sistema
\mathcal{R}:\left\{\begin{array}{l} x^{2}-20 x+y+100 \geq 0, \\\ x^{2}-y^{2}-6 x \geq 0, \\\ x^{2}+16 y^{2}-6 x-7 \geq 0, \\\ x \leq 10, \\\ y \geq-4 . \end{array}\right.
Informações relevantes dadas (copiadas do enunciado):
Inequação 1: x^{2}-20x+y+100 \geq 0.
Inequação 2: x^{2}-y^{2}-6x \geq 0.
Inequação 3: x^{2}+16y^{2}-6x-7 \geq 0.
Restrição linear: x\leq 10.
Restrição linear: y\geq -4.
O que o problema pede:
Fazer um esboço detalhado da região \mathcal{R}, incluindo descrição das cônicas envolvidas (vértices, focos, assíntotas, e qual lado da curva é admitido pela desigualdade), pontos notáveis de interseção entre as curvas e como as retas x=10 e y=-4 cortam a região. Não é pedido um desenho com coordenadas exatas apenas, mas espera-se marcação e cálculo dos elementos principais e dos pontos de interseção relevantes.
Passo 2
Análise da primeira inequação — identificação da parábola e seu lado admitido.
Começo completando quadrado na expressão em x:
x^{2}-20x+y+100=(x-10)^{2}+y.
Portanto a inequação é
(x-10)^{2}+y\ge 0
ou equivalentemente, isolando y,
y \ge - (x-10)^{2}.
Interpretação e elementos da parábola:
Equação da fronteira: \;y=-(x-10)^{2}.
Vértice: \;(10,0) (porque a forma é y=-(x-10)^{2}+0).
Eixo: vertical, reta x=10.
Abertura: para baixo (coeficiente de (x-10)^{2} é -1).
Forma padrão para fóco/directriz: comparar com (x-h)^2 = -4p(y-k). Aqui (x-10)^2 = -1\cdot y, logo -4p = -1 e p=\tfrac{1}{4}.
A inequação é y\ge - (x-10)^{2}, logo é a região acima (e sobre) da parábola. Teste rápido: ponto (10,1) dá 1\ge 0, satisfeito; ponto (10,-1) dá -1\ge 0 falso.
Como há a restrição x\le 10, apenas x=8 é relevante: a parábola cruza a reta y=-4 em (8,-4) (a outra interseção (12,-4) fica fora do domínio x\le10).
Passo 3
Análise da segunda inequação — identificação da hipérbole e seu lado admitido.
Começo por completar quadrado em x:
x^{2}-y^{2}-6x=(x-3)^{2}-9-y^{2}.
A inequação x^{2}-y^{2}-6x\ge 0 é equivalente a
(x-3)^{2}-y^{2}\ge 9,
ou escrevendo na forma padrão, dividindo por 9,
\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}\ge 1.
Elementos da hipérbole (fronteira: igualdade):
Centro: (3,0).
Forma canônica: \dfrac{(x-3)^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=1. Assim a=3, b=3.
Vértices (eixo transverso horizontal): (3\pm a,0)=(0,0) e (6,0).
Constante c para focos: c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+9=18\Rightarrow c=3\sqrt{2}. Focos em (3\pm 3\sqrt{2},0)\approx(3\pm 4{,}243,0).
Assíntotas (retas guía): as retas passam pelo centro e têm equações y=\pm\frac{b}{a}(x-3)=\pm(x-3).
Qual lado da hipérbole é admitido:
A desigualdade é \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}\ge 1, isto significa pontos que satisfazem a igualdade (a curva) e também o exterior das duas ramas (para as hipérboles deste tipo, o conjunto \ge 1 corresponde às duas regiões “fora” entre as ramas, não ao interior entre elas).
Teste: o centro (3,0) dá 0-0\ge1 falso — logo o interior entre as ramas NÃO é admitido. No eixo y=0 a condição vira (x-3)^2\ge 9, i.e. x\le 0 ou x\ge 6; isto mostra claramente as duas ramas exteriores nas quais a desigualdade é satisfeita.
Passo 4
Análise da terceira inequação — identificação da elipse e seu lado admitido.
A inequação x^{2}+16y^{2}-6x-7\ge 0 é equivalente a
(x-3)^{2}+16y^{2}\ge 16,
ou dividindo por 16,
\frac{(x-3)^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{1} \ge 1.
Elementos da elipse (fronteira: igualdade):
Centro: (3,0).
Forma canônica: \dfrac{(x-3)^{2}}{4^{2} }+\dfrac{y^{2}}{1^{2}}=1. Assim a=4 (semi-eixo maior ao longo de x), b=1 (semi-eixo menor ao longo de y).
Vértices principais: (3\pm 4,0)=(-1,0) e (7,0).
Vértices menores: (3, \pm 1).
Focos: c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-1=15\Rightarrow c=\sqrt{15}\approx 3{,}873. Focos em (3\pm\sqrt{15},0)\approx(3\pm 3{,}873,0).
A desigualdade \ge 1 significa os pontos sobre a elipse e do lado de fora da elipse (ou seja, exterior e a própria elipse). Teste: o centro (3,0) dá 0+0\ge1 falso — o interior elíptico é excluído.
Passo 5
Interações entre as três curvas e as retas [x\le 10), y\ge -4. Observações importantes e cortes:
a) Interpretação geométrica global:
A primeira condição (parábola) exige que estejamos acima da parábola y=-(x-10)^2.
A segunda (hipérbole) exige que estejamos nas duas regiões externas às ramas da hipérbole centrada em (3,0) com vértices em (0,0) e (6,0).
A terceira (elipse) exige que estejamos fora (ou sobre) da elipse centrada em (3,0) com vértices (-1,0) e (7,0).
As duas retas impõem ainda x\le 10 (à esquerda da reta vertical x=10) e y\ge -4 (acima da reta horizontal y=-4).
b) Interseção entre a parábola e a reta y=-4:
Já calculada: somente (8,-4) é relevante devido a x\le 10.
c) Interseção das condições no eixo y=0 (ajuda a entender onde há pontos sobre o eixo):
Para y=0, as condições da hipérbole e da elipse passam a ser, respectivamente,(x-3)^2 \ge 9 \quad\text{(hipérbole)},\qquad (x-3)^2 \ge 16 \quad\text{(elipse)}.éPara satisfazer ambas é preciso (x-3)^2\ge 16, ou seja |x-3|\ge 4 → x\le -1 ou x\ge 7.
Com a restrição x\le 10 concluímos que, no eixo y=0, os pontos admissíveis estão com x\le -1 ou 7\le x\le 10. Isso nos dá já uma ideia: a interseção no eixo tem duas componentes (uma à esquerda, outra à direita).
d) Interseção das hipérbole e elipse (pontos de fronteira comuns) — cálculo detalhado:
Partimos do sistema (igualdades das fronteiras):\begin{cases} (x-3)^{2}-y^{2}=9,\\[4pt] \dfrac{(x-3)^{2}}{16}+y^{2}=1. \end{cases}
Da segunda obtemos y^{2}=1-\dfrac{(x-3)^{2}}{16}\]. Substituindo na primeira:
\[(x-3)^{2} - \left(1-\dfrac{(x-3)^{2}}{16}\right)=9.\]
Agrupando termos, usando \(s=(x-3)^{2}:s -1 +\dfrac{s}{16}=9 \quad\Rightarrow\quad \frac{16s+s}{16}=10 \quad\Rightarrow\quad \frac{17s}{16}=10.Assims=\frac{160}{17}.
Para y, usamos y^{2}=1-\dfrac{s}{16}. Com s=\tfrac{160}{17},y^{2}=1-\frac{160}{17\cdot 16}=1-\frac{160}{272}=1-\frac{10}{17}=\frac{7}{17}.Entãoy=\pm\sqrt{\frac{7}{17}}\approx\pm 0{,}641.
Portanto as quatro interseções (hipérbole \cap elipse) são aproximadamente:(6{,}068,\;0{,}641),\quad(6{,}068,\;-0{,}641),\quad(-0{,}068,\;0{,}641),\quad(-0{,}068,\;-0{,}641).
e) Interação com y=-4 (linha inferior) e com a hipérbole/ elipse:
Sobre y=-4, a hipérbole impõe (x-3)^{2}-(-4)^{2}\ge 9\Rightarrow (x-3)^{2}\ge 25\Rightarrow |x-3|\ge 5, i.e. x\le -2 ou x\ge 8.
Sobre y=-4, a elipse não é restritiva (porque y^{2}=16 já garante \frac{(x-3)^2}{16}+16\ge1 para todo x).
Contudo, lembrando a parábola: em y=-4 a parabola dá igualdade apenas em x=8 (o outro ponto x=12 é descartado por x\le10). Verificamos se y=-4 com x>8 satisfaz a parábola: para x>8 (por exemplo x=9) a parábola exige y\ge -1, então y=-4 NÃO satisfaz. Logo na reta y=-4 os pontos admissíveis são:
todo x\le -2 (hipérbole + elipse + parábola satisfeitas); e
o ponto isolado (8,-4) (onde parábola e y=-4 se encontram e satisfazem as demais condições).
Isso mostra que a linha inferior contribui com um segmento à esquerda e um ponto à direita.]
Passo 6
Conclusão qualitativa da região \mathcal{R} e como esboçar passo a passo (instruções do esboço):
Desenhar a parábola y=-(x-10)^2:
Vértice em (10,0), foco em \left(10,-\tfrac{1}{4}\right), diretriz y=\tfrac{1}{4}. Marcar a parábola abrindo para baixo.
A região admissível é a parte acima dela (colocar sombreamento acima da curva).
Desenhar a hipérbole \dfrac{(x-3)^2}{9}-\dfrac{y^2}{9}=1:
Centro (3,0), vértices (0,0) e (6,0).
Assíntotas y=\pm(x-3).
A região admissível é a parte exterior às duas ramas (colocar sombreamento nas duas regiões externas).
Desenhar a elipse \dfrac{(x-3)^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1:
Centro (3,0), vértices (-1,0) e (7,0), semi-minor b=1 em y=\pm1, focos (3\pm\sqrt{15},0).
A região admissível é o exterior da elipse (sombrear fora dela).
Marcar as interseções importantes:
Hipérbole \cap elipse: aproximadamente (6{,}068,\pm0{,}641) e (-0{,}068,\pm0{,}641); marcar esses quatro pontos.
Pontos na linha y=0 admissíveis: x\le -1 e 7\le x\le 10 (marcar (-1,0), (7,0) e indicar que a parte entre -1 e 7 sobre o eixo x está excluída).
Parabola cruza y=-4 em (8,-4) (marcar) — o outro cruzamento (12,-4) fica fora de x\le10.
Sobre a reta y=-4, região admissível inclui todo x\le -2 e o ponto (8,-4), conforme explicado.
Aplicar as restrições lineares:
Traçar a reta vertical x=10 e manter apenas a parte à esquerda.
Traçar a reta horizontal y=-4 e manter apenas a parte acima.
Resultado final (geometria da região):
A região \mathcal{R} é a interseção de “acima da parábola”, “fora da elipse”, “fora da hipérbole (nas duas ramas externas)”, com x\le 10 e y\ge -4.
Visualmente isso produz duas componentes desconexas principais:
Componente esquerda: uma região que se estende para x negativo (unbounded para |y| grande quando |x| grande), localizada à esquerda da elipse/hipérbole; contém pontos com x\le -1 sobre o eixo y=0 e inclui o intervalo na reta y=-4 com x\le -2.
Componente direita: um conjunto mais localizado perto do lado direito da elipse/hipérbole, para x na faixa aproximadamente 7\le x\le 10 (no eixo y=0 vemos admissibilidade a partir de x=7), com a borda inferior submetida à condição y\ge - (x-10)^{2} que, entre x=8 e x=10, é mais restritiva que y\ge -4. O ponto (8,-4) aparece como ponto onde a linha y=-4 e a parábola se encontram e é admissível; para x>8 (até 10) a parábola sobe e impõe limites superiores em y (por exemplo, em x=9 a parábola exige y\ge -1, logo pontos com y=-4 são excluídos aí).
As fronteiras importantes a desenhar fortemente são: a curva da parábola (sombrear acima), a elipse (sombrear fora), a hipérbole (sombrear fora das ramas), a reta x=10 (limite à direita) e a reta y=-4 (limite inferior). Marcar os vértices, focos, assíntotas e os pontos de interseção numéricos que calculei.
Passo 7
Resumo dos pontos e números importantes (para marcar no esboço):
Parabola y=-(x-10)^2:
Vértice (10,0).
Foco \left(10,-\tfrac{1}{4}\right).
Diretriz y=\tfrac{1}{4}.
Intersecção com y=-4: (8,-4) (a outra solução x=12 fica fora por x\le10).
Hipérbole \dfrac{(x-3)^2}{9}-\dfrac{y^2}{9}=1:
Centro (3,0), vértices (0,0) e (6,0).
Focos (3\pm 3\sqrt{2},0)\approx(3\pm 4{,}243,0).
Assíntotas y=\pm(x-3).
Elipse \dfrac{(x-3)^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1:
Centro (3,0), vértices (-1,0) e (7,0).
Semi-eixos a=4 e b=1.
Focos (3\pm\sqrt{15},0)\approx(3\pm 3{,}873,0).
Interseções hipérbole \cap elipse:
Aproximadamente (6{,}068,\pm 0{,}641) e (-0{,}068,\pm 0{,}641).
Sobre o eixo y=0 os pontos admitidos estão com x\le -1 ou 7\le x\le 10.
Na recta y=-4 os pontos admitidos são x\le -2 (segmento à esquerda, continuo) e o ponto isolado (8,-4).
Resposta
Esboçar a região \mathcal{R} como a interseção dos seguintes conjuntos:
acima da parábola \;y=-(x-10)^2 (vértice (10,0), foco \left(10,-\tfrac{1}{4}\right), diretriz y=\tfrac{1}{4});
fora (ou sobre) da elipse \;\dfrac{(x-3)^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1 (centro (3,0), vértices (-1,0) e (7,0), focos (3\pm\sqrt{15},0));
fora (ou sobre) da hipérbole \;\dfrac{(x-3)^2}{9}-\dfrac{y^2}{9}=1 (centro (3,0), vértices (0,0),(6,0), assíntotas y=\pm(x-3), focos (3\pm3\sqrt2,0));
com x\le 10 e y\ge -4.
Geom. final: \mathcal{R} tem duas componentes desconexas principais — uma componente à esquerda (estendendo-se para x negativos, contendo pontos com x\le -1 sobre y=0 e o segmento y=-4,\;x\le -2) e uma componente direita mais localizada para 7\le x\le 10 (no eixo, pontos com 7\le x\le10 são permitidos; a reta y=-4 só contribui com o ponto (8,-4) nessa região). Marcar no esboço os pontos notáveis e as interseções: hipérbole\capelipse em (6{,}068,\pm0{,}641) e (-0{,}068,\pm0{,}641), vértices e focos listados acima, e o ponto (8,-4).