Determine se as sequiencias convergem ou divergem.Se convergirem, determine
limite.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
(isto é,
com
) e dizer se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas: a sequência é definida por , em que
é a função seno com argumento em radianos e
é um inteiro positivo. Não há outras restrições.
Informações dadas: a sequência é definida por
Passo 2
Definição útil (passo didático): uma sequência
converge para
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
. Uma consequência prática: se eu conseguir duas subsequências de
que têm limites diferentes, então
não converge (pois um único limite não pode ser igual a dois valores distintos).
Estratégia: vou procurar duas subsequências de
que convergem para limites diferentes. Para isso vou usar propriedades dos valores
quando
varia nos inteiros.
Passo 3
Fato chave (explicado de forma acessível):
é um número irracional (teorema clássico). Isso implica que os números
(inteiros) vistos módulo
visitam, de forma densa, o intervalo
. Em linguagem mais simples: dado qualquer ângulo
e qualquer
, existe um inteiro
tal que a distância entre
e
considerando-se o círculo (distância módulo
) é menor que
. Consequência prática: podemos encontrar inteiros
tais que
fique arbitrariamente próximo de qualquer valor em
. Em particular, podemos aproximar
de
e de
com precisão arbitrária.
Comentário intuitivo: a razão é que
e
são incommensuráveis (não há uma razão racional entre eles), então os restos das divisões de
por
“se espalham” por todo o intervalo
.
Passo 4
Vou separar a sequência em dois ramos (duas subsequências naturais): os termos de índice par e os de índice ímpar.
-
Para
par, escrevemos . Então Assim a subsequência dos termos de índice par é. -
Para
ímpar, escrevemos . Então Assim a subsequência dos termos de índice ímpar é.
Observe que analisar
e
reduz ao mesmo tipo de problema: valores do seno em uma progressão aritmética de argumentos inteiros (multiplos de
ou deslocados por 1).
Passo 5
Aplicando a densidade argumentada no Passo 3 aos dois casos:
-
Como
é irracional (pois é irracional), a sequência também é densa em . Logo, existem valores tais que fica arbitrariamente próximo de . Em termos práticos: existe uma subsequência tal que Portanto, a subsequência correspondente da sequência original satisfaz -
Do mesmo modo, há também inteiros
tais que fica arbitrariamente próximo de (pois é denso também). Escolhendo uma subsequência com , obtemos
Em resumo: encontramos uma subsequência de termos com limite
e outra subsequência (de índices ímpares) com limite
.
Passo 6
Conclusão pela propriedade das subsequências: como existem duas subsequências de
com limites distintos (
e
), a sequência inteira
não pode ter limite único. Portanto
diverge (não converge).
Comentário final pedagógico e motivador: a ideia central é que
quando
é inteiro “varre” o intervalo
de forma suficientemente rica (graças à irracionalidade de
), e o fator
apenas muda o sinal em índices ímpares, o que torna possível obter subsequências com sinais opostos; isso quebra qualquer tentativa de um limite único. Você conseguiu acompanhar até aqui — ótimo trabalho! Se quiser, eu mostro exemplos numéricos de índices em que
é próximo de
ou
.
Resposta
Diverge (não tem limite).