Determine se as sequiencias convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
\{(-1)^{n} \operatorname{sen}(n)\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência \{(-1)^{n}\operatorname{sen}(n)\} (isto é, \left(a_n\right)_{n\ge1} com a_n = (-1)^{n}\sin(n)) e dizer se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite.
Informações dadas: a sequência é definida por a_n = (-1)^{n}\sin(n), em que \sin é a função seno com argumento em radianos e n é um inteiro positivo. Não há outras restrições.

Passo 2

Definição útil (passo didático): uma sequência \left(a_n\right) converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\varepsilon. Uma consequência prática: se eu conseguir duas subsequências de \left(a_n\right) que têm limites diferentes, então \left(a_n\right) não converge (pois um único limite não pode ser igual a dois valores distintos).
Estratégia: vou procurar duas subsequências de \left(a_n\right) que convergem para limites diferentes. Para isso vou usar propriedades dos valores \sin(n) quando n varia nos inteiros.

Passo 3

Fato chave (explicado de forma acessível): \pi é um número irracional (teorema clássico). Isso implica que os números n (inteiros) vistos módulo 2\pi visitam, de forma densa, o intervalo [0,2\pi]. Em linguagem mais simples: dado qualquer ângulo \theta\in[0,2\pi] e qualquer \varepsilon>0, existe um inteiro n tal que a distância entre n e \theta considerando-se o círculo (distância módulo 2\pi) é menor que \varepsilon. Consequência prática: podemos encontrar inteiros n tais que \sin(n) fique arbitrariamente próximo de qualquer valor em [-1,1]. Em particular, podemos aproximar \sin(n) de 1 e de -1 com precisão arbitrária.
Comentário intuitivo: a razão é que 1 e 2\pi são incommensuráveis (não há uma razão racional entre eles), então os restos das divisões de n por 2\pi “se espalham” por todo o intervalo [0,2\pi].

Passo 4

Vou separar a sequência em dois ramos (duas subsequências naturais): os termos de índice par e os de índice ímpar.
  • Para n par, escrevemos n=2k. Então
    a_{2k} = (-1)^{2k}\sin(2k) = \sin(2k).
    Assim a subsequência dos termos de índice par é \left(\sin(2k)\right)_{k\ge1}.
  • Para n ímpar, escrevemos n=2k+1. Então
    a_{2k+1} = (-1)^{2k+1}\sin(2k+1) = -\sin(2k+1).
    Assim a subsequência dos termos de índice ímpar é \left(-\sin(2k+1)\right)_{k\ge0}.
Observe que analisar \left(\sin(2k)\right) e \left(\sin(2k+1)\right) reduz ao mesmo tipo de problema: valores do seno em uma progressão aritmética de argumentos inteiros (multiplos de 2 ou deslocados por 1).

Passo 5

Aplicando a densidade argumentada no Passo 3 aos dois casos:
  • Como 1/\pi é irracional (pois \pi é irracional), a sequência \{2k \bmod 2\pi\} também é densa em [0,2\pi]. Logo, existem valores k tais que \sin(2k) fica arbitrariamente próximo de 1. Em termos práticos: existe uma subsequência \left(k_j\right) tal que
    \sin(2k_j) \longrightarrow 1 \quad\text{quando } j\to\infty.
    Portanto, a subsequência correspondente da sequência original satisfaz
    a_{2k_j} = \sin(2k_j) \longrightarrow 1.
  • Do mesmo modo, há também inteiros m tais que \sin(2m+1) fica arbitrariamente próximo de 1 (pois \{2m+1 \bmod 2\pi\} é denso também). Escolhendo uma subsequência \left(m_j\right) com \sin(2m_j+1)\to 1, obtemos
    a_{2m_j+1} = -\sin(2m_j+1) \longrightarrow -1.
Em resumo: encontramos uma subsequência de termos com limite 1 e outra subsequência (de índices ímpares) com limite -1.

Passo 6

Conclusão pela propriedade das subsequências: como existem duas subsequências de \left(a_n\right) com limites distintos ( 1 e -1), a sequência inteira \left(a_n\right) não pode ter limite único. Portanto \left(a_n\right) diverge (não converge).
Comentário final pedagógico e motivador: a ideia central é que \sin(n) quando n é inteiro “varre” o intervalo [-1,1] de forma suficientemente rica (graças à irracionalidade de \pi), e o fator (-1)^{n} apenas muda o sinal em índices ímpares, o que torna possível obter subsequências com sinais opostos; isso quebra qualquer tentativa de um limite único. Você conseguiu acompanhar até aqui — ótimo trabalho! Se quiser, eu mostro exemplos numéricos de índices em que \sin(n) é próximo de 1 ou -1.

Resposta

Diverge (não tem limite).

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