[2 pts] Determine o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z)=z i-y j+x k
através do helicóide r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= 2 pi, com orientação ascendente.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z)=z,i-y,j+x,k
através do helicóide parametrizado por
r(u,v)=(ucos v,;usin v,;v), 0<= u<=1,; 0<= v<=2pi,
com orientação ascendente (isto é, normal com componente z não negativa). Vamos usar a fórmula do fluxo em parametrização:
integral duplaSFcdotn,dS =integral duplaDF(r(u,v))cdotl(rutimesrvr),du,dv

Passo 2

Calculamos primeiro
ru=(cos v,;sin v,;0), rv=(-usin v,;ucos v,;1)
O produto vetorial é
rutimesrv = i&j&k cos v&sin v&0 -,usin v&ucos v&1 =(sin v,;-,cos v,;u)
Note que o componente z é u>=0, garantindo a orientação ascendente.

Passo 3

Substituímos r(u,v) em F:
F(r(u,v)) =(v,;-,usin v,;ucos v)
O produto escalar é
Fl(r(u,v)r)cdot l(rutimesrvr) =vsin v +(-usin v)(-,cos v) +(ucos v)(u) =vsin v +usin vcos v +u^2cos v

Passo 4

Integramos sobre 0<= u<=1, 0<= v<=2pi:
integral duplaD l[vsin v +usin vcos v +u^2cos vr]du,dv =integral0^2pi[ underbraceintegral0^1vsin v,du=vsin v +underbraceintegral0^1usin vcos v,du=tfrac12sin vcos v +underbraceintegral0^1u^2cos v,du=tfrac13cos v ]dv
Isso é
integral0^2pil[vsin v+tfrac12sin vcos v+tfrac13cos vr]dv
As integrais de sin vcos v e de cos v sobre um período são zero, restando
integral0^2pivsin v,dv
Por partes:
integral vsin v,dv =-vcos v+sin v Longrightarrow l[-vcos v+sin vr]0^2pi =-2picdot1+0-0= -2pi

Resposta

O fluxo do campo através do helicóide, com orientação ascendente, é -2pi.

Exercícios relacionados