Determine uma representação parametrizada para os seguintes objetos:
(b) A parte do plano x+2 y+3 z=1 que está acima do triângulo com vértices (0,0),(0,1) e (2,1).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção do plano
x + 2y + 3z = 1
que está “acima” do triângulo no plano xy cujos vértices são (0,0), (0,1) e (2,1).
Conteúdo: parametrização de superfícies por projeção vertical e uso da equação do plano para obter z.

Passo 2

Primeiro vamos parametrizar o triângulo no plano xy. Note que ele pode ser descrito por
0 <= y <= 1, 0 <= x <= 2y
Introduzimos parâmetros (s,t) com
0 <= s <= 1, 0 <= t <= 1,
e definimos
y = s, x = 2,s,t
Quando t varia de 0 a 1, x percorre de 0 até 2s, cobrindo a aresta que vai de (0,s) a (2s,s). E s de 0 a 1 varre as linhas horizontais do triângulo.

Passo 3

Agora usamos a equação do plano para escrever z em função de (x,y). Da equação
x + 2y + 3z = 1
isolamos
z = 1 - x - 2y3
Substituindo x = 2s,t e y = s obtemos
z = 1 - 2s,t - 2s3

Passo 4

Reunindo tudo, a parametrização r(s,t) da superfície é
r(s,t) = l(x(s,t),,y(s,t),,z(s,t)r) = l(2s,t,;s,;tfrac1 - 2s,t - 2s3r),
com o domínio
0 <= s <= 1, 0 <= t <= 1

Resposta

Uma representação parametrizada é
r(s,t) = l(2s,t,;s,;tfrac1 - 2s,t - 2s3r), 0 <= s <= 1,;0 <= t <= 1

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