2ª Questão
( \mathbf{1 , 5} pontos) Dada a superfície esférica S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+8 y+2 z-4=0, determine:
a) O centro e o raio da superfície esférica.
b) O plano tangente a superfície S no ponto T=(2,-4,4).

Passo 1

O enunciado dá a superfície esférica
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+8y+2z-4=0
e pede:
a) o centro e o raio (fazendo completamento de quadrados),
b) o plano tangente em T=(2,-4,4) (usando que o normal é \nabla F em T, onde F=0 define a esfera).

Passo 2

Agrupamos termos e completamos quadrados:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
y^{2}+8y = (y+4)^{2}-16,
z^{2}+2z = (z+1)^{2}-1.
Substituindo na equação da esfera:
(x-2)^{2}-4 \;+\;(y+4)^{2}-16\;+\;(z+1)^{2}-1\;-\;4 = 0
as constantes somam -4-16-1-4=-25, logo
(x-2)^{2} + (y+4)^{2} + (z+1)^{2} = 25.
Daí o centro é C=(2,-4,-1) e o raio é r=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Definimos
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+8y+2z-4,
então
\nabla F(x,y,z) = (2x-4,\;2y+8,\;2z+2).
Em T=(2,-4,4) vem
\nabla F(2,-4,4) = (2\cdot2-4,\;2\cdot(-4)+8,\;2\cdot4+2) = (0,0,10).
O plano tangente satisfaz
(0,0,10)\cdot\bigl((x,y,z)-(2,-4,4)\bigr)=0
que dá
10\,(z-4)=0
e, portanto, z=4.

Resposta

(a) Centro C=(2,-4,-1) e raio r=5.
(b) Plano tangente em T: z=4.

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