4ª Questão
( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine a equação reduzida, os focos, a excentricidade, as assíntotas e o gráfico da hipérbole com centro na origem e que passa pelos pontos
e
?
( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine a equação reduzida, os focos, a excentricidade, as assíntotas e o gráfico da hipérbole com centro na origem e que passa pelos pontos
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida, os focos, a excentricidade, as assíntotas e o gráfico de uma hipérbole centrada na origem que passa pelos pontos
e
. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, especificamente hipérboles, e vamos precisar escolher a forma geral da hipérbole centrada na origem e determinar os parâmetros
e
a partir dos pontos dados.
Passo 2
Como o ponto
pertence à hipérbole, ao substituir
num modelo da forma
teríamos o sinal incorreto (ficaria
), logo a hipérbole é da forma vertical, isto é,
Substituindo
nesta expressão vem
Passo 3
Agora substituímos
em
ou seja,
Multiplicando por
,
Portanto a equação reduzida é
Passo 4
Para hipérbole,
. Aqui,
Os focos são
, ou seja,
A excentricidade é
Passo 5
As assíntotas de
são
. Como
e
, vêm
O gráfico consiste em dois ramos abertos para cima e para baixo, com centro na origem, verticais, e aproximando-se das retas
.
Resposta
Equação reduzida:
Focos:
.
Excentricidade: .
Assíntotas: e
.
Gráfico: ramos verticalizados com vértices em , aproximando-se de
.
Excentricidade:
Assíntotas:
Gráfico: ramos verticalizados com vértices em