4ª Questão
( \mathbf{2 , 0} pontos) Determine a equação reduzida, os focos, a excentricidade, as assíntotas e o gráfico da hipérbole com centro na origem e que passa pelos pontos \left(\frac{3}{4}, 5\right) e (0,-4) ?

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida, os focos, a excentricidade, as assíntotas e o gráfico de uma hipérbole centrada na origem que passa pelos pontos \bigl(\tfrac{3}{4},5\bigr) e (0,-4). O conteúdo é geometria analítica de cônicas, especificamente hipérboles, e vamos precisar escolher a forma geral da hipérbole centrada na origem e determinar os parâmetros a e b a partir dos pontos dados.

Passo 2

Como o ponto (0,-4) pertence à hipérbole, ao substituir x=0 num modelo da forma
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
teríamos o sinal incorreto (ficaria -\tfrac{16}{b^2}=1), logo a hipérbole é da forma vertical, isto é,
\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1.
Substituindo (0,-4) nesta expressão vem
\frac{(-4)^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{16}{a^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a^2=16.

Passo 3

Agora substituímos \bigl(\tfrac{3}{4},5\bigr) em
\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{b^2}=1,
ou seja,
\frac{5^2}{16}-\frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2}{b^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{16}-\frac{\tfrac{9}{16}}{b^2}=1.
Multiplicando por 16,
25-\frac{9}{b^2}=16 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{b^2}=9 \quad\Longrightarrow\quad b^2=1.
Portanto a equação reduzida é
\boxed{\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{1}=1.}

Passo 4

Para hipérbole, c^2=a^2+b^2. Aqui,
c^2=16+1=17 \quad\Longrightarrow\quad c=\sqrt{17}.
Os focos são (0,\pm c), ou seja,
\boxed{F_1=(0,\sqrt{17}),\quad F_2=(0,-\sqrt{17}).}
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{4}.

Passo 5

As assíntotas de \displaystyle \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 são y=\pm\frac{a}{b}\,x. Como a=4 e b=1, vêm
\boxed{y=4x \quad\text{e}\quad y=-4x.}
O gráfico consiste em dois ramos abertos para cima e para baixo, com centro na origem, verticais, e aproximando-se das retas y=\pm4x.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{1}=1.
Focos: (0,\pm\sqrt{17}).
Excentricidade: \displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}.
Assíntotas: y=4x e y=-4x.
Gráfico: ramos verticalizados com vértices em (0,\pm4), aproximando-se de y=\pm4x.

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