3ª Questão
( \mathbf{2 , 0} pontos) Considere o conjunto dos pontos P=(x, y), que estão a uma mesma distância do ponto F=(2,0) e do eixo y. Determine:
a) Equação reduzida
b) Nome da cônica
c) Excentricidade da cônica
d) Vértice(s)
Observação: Para ser considerada a resposta dos itens (b), (c) e (d) é necessário obter de forma correta o item (a).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) que estão à mesma distância do foco F=(2,0) e do eixo y. Isso é exatamente a definição de uma parábola (conjunto equidistante de um ponto e de uma reta). Vamos usar a fórmula da distância ponto–ponto e ponto–reta para obter a equação e, a partir dela, identificar a cônica, sua excentricidade e vértice.

Passo 2

Seja P=(x,y). A distância de P a F é \sqrt{(x-2)^2+y^2}
e a distância de P ao eixo y é |x|. Igualando-as, temos
\sqrt{(x-2)^2+y^2} \;=\; |x|.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x-2)^2 + y^2 \;=\; x^2.
Expandindo e simplificando:
x^2 - 4x +4 + y^2 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2 -4x +4 =0 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 4(x-1).

Passo 4

A equação em forma canônica de uma parábola com eixo paralelo a x é
(y-k)^2 = 4p\,(x-h).
Comparando com \displaystyle y^2 = 4(x-1), vemos que h=1, k=0 e p=1. Isso confirma que é uma parábola que abre para a direita, com foco em (h+p,k)=(2,0) e diretriz x=h-p=0.

Passo 5

Pelo que identificamos, a cônica é uma parábola. A excentricidade de toda parábola vale
e = 1.

Passo 6

O vértice está em (h,k), ou seja,
\bigl(1,\,0\bigr).

Resposta

a) y^2 = 4(x-1)
b) Parábola
c) e = 1
d) Vértice em (1,0)

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