3ª Questão
( \mathbf{2 , 0} pontos) Considere o conjunto dos pontos
, que estão a uma mesma distância do ponto
e do eixo
. Determine:
a) Equação reduzida
b) Nome da cônica
c) Excentricidade da cônica
d) Vértice(s)
Observação: Para ser considerada a resposta dos itens (b), (c) e (d) é necessário obter de forma correta o item (a).
( \mathbf{2 , 0} pontos) Considere o conjunto dos pontos
a) Equação reduzida
b) Nome da cônica
c) Excentricidade da cônica
d) Vértice(s)
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
que estão à mesma distância do foco
e do eixo
. Isso é exatamente a definição de uma parábola (conjunto equidistante de um ponto e de uma reta). Vamos usar a fórmula da distância ponto–ponto e ponto–reta para obter a equação e, a partir dela, identificar a cônica, sua excentricidade e vértice.
Passo 2
Seja
. A distância de
a
é
e a distância de ao eixo
é
. Igualando-as, temos
e a distância de
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo e simplificando:
Passo 4
A equação em forma canônica de uma parábola com eixo paralelo a
é
Comparando com
, vemos que
,
e
. Isso confirma que é uma parábola que abre para a direita, com foco em
e diretriz
.
Passo 5
Pelo que identificamos, a cônica é uma parábola. A excentricidade de toda parábola vale
Passo 6
O vértice está em
, ou seja,
Resposta
a)
b) Parábola
c)
d) Vértice em
b) Parábola
c)
d) Vértice em