[2.0 pt ] Seja \vec{F}=\left(a x^{2} y+y^{3}+1\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(2 x^{3}+b x y^{2}+2\right) \hat{\mathbf{j}} um campo vetorial, onde a e b são constantes.
a) [ 0.5 pt ] Encontre os valores de a e b pra os quais \vec{F} é conservativo.
b) [0.5 \mathrm{pt}] Para os valores de a e b encontrados no item (a), encontre f(x, y) tal que \vec{F}=\nabla f.
c) [1 pt] Usando os valores de a e b do item (a), calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} ao longo da curva C dada por x=e^{t} \cos t, y=e^{t} \sin t, 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}=\left(a x^{2} y+y^{3}+1\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(2 x^{3}+b x y^{2}+2\right)\hat{\mathbf{j}}, com a e b constantes, e pede três coisas:
  1. (a) Determinar os valores de a e b para os quais \vec{F} é conservativo.
  2. (b) Para esses valores, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que \vec{F}=\nabla f.
  3. (c) Usando esses valores, calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva C dada por x=e^{t}\cos t,\; y=e^{t}\sin t,\; 0\le t\le\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes do campo são polinômios em x e y.
  • A curva C está dada por uma parametrização em t no intervalo [0,\pi].
  • Não há restrição de domínio: o campo está definido em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Condição para conservatividade (explicação didática): em duas variáveis, num domínio simplesmente conexo (como todo \mathbb{R}^2), um campo vetorial \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) é conservativo se, e somente se, as derivadas mistas se igualarem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isto vem do fato de que se \vec{F}=\nabla f então P=f_x e Q=f_y, e a igualdade das derivadas mistas f_{xy}=f_{yx} dá essa condição.
Aplicando ao nosso P e Q:
Definimos P(x,y)=a x^{2} y+y^{3}+1 e Q(x,y)=2 x^{3}+b x y^{2}+2.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=a x^{2}+3 y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=6 x^{2}+b y^{2}.

Passo 3

Igualando as derivadas (porque queremos conservatividade para todos x,y):
a x^{2}+3 y^{2}=6 x^{2}+b y^{2}\quad\text{para todo }x,y.
Como isto deve valer para todo x e y, igualamos os coeficientes de x^{2} e de y^{2} separadamente:
  • Coeficiente de x^{2}: a=6.
  • Coeficiente de y^{2}: 3=b.
Portanto:
a=6,\qquad b=3.

Passo 4

Agora que temos a=6 e b=3, procuramos f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F}.
Escrevemos novamente as componentes com esses valores:
P(x,y)=6 x^{2} y+y^{3}+1,\qquad Q(x,y)=2 x^{3}+3 x y^{2}+2.
Método (explicação didática): para achar a potencial f uma maneira prática é integrar P=f_x em relação a x, obtendo f(x,y) até uma “constante” que pode depender de y. Depois diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a Q para determinar essa função de y.
Integramos P em relação a x:
f(x,y)=\int (6 x^{2} y+y^{3}+1)\,dx.
Fazendo termo a termo:
\int 6 x^{2} y\,dx = 6y\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3}y,
\int y^{3}\,dx = x y^{3},
\int 1\,dx = x.
Então obtemos
f(x,y)=2x^{3}y + x y^{3} + x + g(y),
onde g(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 5

Determinamos g(y) exigindo que f_y=Q. Calculamos f_y:
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^{3} + 3x y^{2} + g'(y).
Igualando a Q(x,y)=2x^{3}+3x y^{2}+2 obtemos
2x^{3}+3x y^{2}+g'(y)=2x^{3}+3x y^{2}+2 \implies g'(y)=2.
Integrando g'(y)=2 g(y)=2y + C, onde C é constante real.
Portanto uma potencial é
f(x,y)=2x^{3}y + x y^{3} + x + 2y + C.
Podemos, se quisermos, escolher C=0 (a função potencial é determinada a uma constante aditiva).

Passo 6

Cálculo da integral de linha usando o potencial (explicação didática): se \vec{F}=\nabla f, então para qualquer curva C que vá de um ponto A a um ponto B temos a forma fundamental
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A).
Isto evita calcular a integral paramétrica complicada: basta avaliar f nas extremidades da curva.
A curva C tem parametrização x(t)=e^{t}\cos t,\; y(t)=e^{t}\sin t,\; 0\le t\le\pi.
Pontos extremos:
  • Para t=0: x(0)=e^{0}\cos0=1,\; y(0)=0. Ponto inicial A=(1,0).
  • Para t=\pi: x(\pi)=e^{\pi}\cos\pi=-e^{\pi},\; y(\pi)=e^{\pi}\sin\pi=0. Ponto final B=(-e^{\pi},0).
Avaliamo f nesses pontos. Usando f(x,y)=2x^{3}y + x y^{3} + x + 2y + C:
Para A=(1,0):
f(1,0)=2\cdot1^{3}\cdot0 + 1\cdot0^{3} + 1 + 2\cdot0 + C = 1 + C.
Para B=(-e^{\pi},0):
f(-e^{\pi},0)=2(-e^{\pi})^{3}\cdot 0 + (-e^{\pi})\cdot 0^{3} + (-e^{\pi}) + 2\cdot 0 + C = -e^{\pi} + C.
Então a integral de linha é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)=(-e^{\pi}+C)-(1+C)=-e^{\pi}-1.
Note que a constante C cancela, como esperado.

Resposta

(a) a=6,\; b=3
(b) f(x,y)=2x^{3}y + x y^{3} + x + 2y + C (com C constante)
(c) \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-e^{\pi}-1

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