[2.0 pt ] Seja
um campo vetorial, onde
e
são constantes.
a) [ 0.5 pt ] Encontre os valores de
e
pra os quais
é conservativo.
b)
Para os valores de
e
encontrados no item (a), encontre
tal que
.
c) [1 pt] Usando os valores de
e
do item (a), calcule
ao longo da curva
dada por
.
a) [ 0.5 pt ] Encontre os valores de
b)
c) [1 pt] Usando os valores de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
, com
e
constantes, e pede três coisas:
- (a) Determinar os valores de
e para os quais é conservativo. - (b) Para esses valores, encontrar uma função potencial
tal que . - (c) Usando esses valores, calcular
ao longo da curva dada por .
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes do campo são polinômios em
e . - A curva
está dada por uma parametrização em no intervalo . - Não há restrição de domínio: o campo está definido em todo
.
Passo 2
Condição para conservatividade (explicação didática): em duas variáveis, num domínio simplesmente conexo (como todo
), um campo vetorial
é conservativo se, e somente se, as derivadas mistas se igualarem:
Isto vem do fato de que se
então
e
, e a igualdade das derivadas mistas
dá essa condição.
Aplicando ao nosso
e
:
Definimos
e
.
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 3
Igualando as derivadas (porque queremos conservatividade para todos
):
Como isto deve valer para todo
e
, igualamos os coeficientes de
e de
separadamente:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto:
Passo 4
Agora que temos
e
, procuramos
tal que
.
Escrevemos novamente as componentes com esses valores:
Escrevemos novamente as componentes com esses valores:
Método (explicação didática): para achar a potencial
uma maneira prática é integrar
em relação a
, obtendo
até uma “constante” que pode depender de
. Depois diferenciamos essa expressão em relação a
e igualamos a
para determinar essa função de
.
Integramos
em relação a
:
Fazendo termo a termo:
Então obtemos
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 5
Determinamos
exigindo que
. Calculamos
:
Igualando a
obtemos
Integrando
dá
, onde
é constante real.
Portanto uma potencial é
Podemos, se quisermos, escolher
(a função potencial é determinada a uma constante aditiva).
Passo 6
Cálculo da integral de linha usando o potencial (explicação didática): se
, então para qualquer curva
que vá de um ponto
a um ponto
temos a forma fundamental
Isto evita calcular a integral paramétrica complicada: basta avaliar
nas extremidades da curva.
A curva
tem parametrização
.
Pontos extremos:
Pontos extremos:
- Para
: . Ponto inicial . - Para
: . Ponto final .
Avaliamo
nesses pontos. Usando
:
Para
:
Para
:
Então a integral de linha é
Note que a constante
cancela, como esperado.
Resposta
(a)
(b) (com
constante)
(c)
(b)
(c)