Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int \operatorname{sen} x \cos (\cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen} x\;\cos(\cos x)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é o produto de \operatorname{sen} x e \cos(\cos x).
  • Queremos uma primitiva (ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen} x\;\cos(\cos x)).

Passo 2

Vamos reconhecer uma estrutura que facilita a integração: a presença de \operatorname{sen} x junto a uma função composta \cos(\cos x) sugere usar a substituição (ou observar a derivada de uma função composta). Antes de aplicar, explico a ideia da substituição e do Teorema da Cadeia de forma bem didática.
A regra da cadeia (cadeia = composições) diz: se g e h são funções diferenciáveis, então a derivada de g(h(x)) é
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Na prática, quando vemos algo como h'(x)\cdot g'(h(x)) dentro de uma integral, é sinal de que podemos fazer a substituição u=h(x) para simplificar.

Passo 3

Aplicamos a substituição natural:
u=\cos x.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
du=\frac{d}{dx}(\cos x)\,dx = -\operatorname{sen} x\,dx.
Isolando \operatorname{sen} x\,dx obtemos
\operatorname{sen} x\,dx = -du.

Passo 4

Substituímos na integral original. Como u=\cos x e \operatorname{sen} x\,dx=-du, temos
\int \operatorname{sen} x\;\cos(\cos x)\,dx = \int \cos(u)\,(-du) = -\int \cos(u)\,du.
Agora integramos em u. A primitiva de \cos(u) é \sin(u), então
- \int \cos(u)\,du = -\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração. Voltando para a variável x (substituindo u=\cos x):
-\sin(u)+C = -\sin(\cos x) + C.

Passo 5

Sempre confirme diferenciando a resposta para garantir que está correta. Diferenciando F(x)=-\sin(\cos x) usamos a regra da cadeia:
F'(x) = -\cos(\cos x)\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) = -\cos(\cos x)\cdot(-\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x\;\cos(\cos x),
que é exatamente o integrando. Perfeito!

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (bem prática):
  • Ao ver \operatorname{sen} x multiplicando uma função de \cos x, tente u=\cos x.
  • Exemplos semelhantes para treinar: \int \operatorname{sen} x\,e^{\cos x}\,dx = -e^{\cos x}+C,
\int \operatorname{sen} x\,\operatorname{sen}(\cos x)\,dx = \cos(\cos x)+C.
Respira fundo: esse tipo de integral costuma ser rápido quando você reconhece a substituição.

Resposta

-\sin(\cos x)+C

Exercícios relacionados