Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de
e . - Queremos uma primitiva (ou seja, uma função
tal que ).
Passo 2
Vamos reconhecer uma estrutura que facilita a integração: a presença de
junto a uma função composta
sugere usar a substituição (ou observar a derivada de uma função composta). Antes de aplicar, explico a ideia da substituição e do Teorema da Cadeia de forma bem didática.
A regra da cadeia (cadeia = composições) diz: se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada de
é
Na prática, quando vemos algo como
dentro de uma integral, é sinal de que podemos fazer a substituição
para simplificar.
Passo 3
Aplicamos a substituição natural:
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituímos na integral original. Como
e
, temos
Agora integramos em
. A primitiva de
é
, então
onde
é a constante de integração. Voltando para a variável
(substituindo
):
Passo 5
Sempre confirme diferenciando a resposta para garantir que está correta. Diferenciando
usamos a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Perfeito!
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (bem prática):
- Ao ver
multiplicando uma função de , tente . - Exemplos semelhantes para treinar:
Respira fundo: esse tipo de integral costuma ser rápido quando você reconhece a substituição.