Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{3}{5^{n}}+\frac{2}{n}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma.
Informações dadas:
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
O termo geral é \ln\!\left(\dfrac{3}{5^{n}}+\dfrac{2}{n}\right).
Não há mais condições ou parâmetros; a série está totalmente especificada.
Passo 2
Primeiro vamos manipular algebricamente o termo dentro do logaritmo para separar partes mais simples. Usamos a propriedade do logaritmo \ln(ab)=\ln a+\ln b. Note que
pois 5^{n} cresce exponencialmente e vence o fator polinomial n. Para x>-1 vale a desigualdade elementar \ln(1+x)\le x. Aplicando com x=\varepsilon_n\ge0 obtemos
Como o limite da razão é 1/5<1, a série \sum b_n converge. Portanto \sum v_n converge também (por comparação), isto é, o somatório dos v_n é finito. Denotemos o limite parcial por
B:=\sum_{n=1}^\infty v_n\quad\text{(existe e é finito, }0\le B<\infty\text{).}é
S_N \le N\ln2 - \big(N\ln N - N + 1\big) + B_N = N(\ln2-\ln N+1) + (B_N-1).
Quando N\to\infty temos \ln N\to\infty, logo \ln2-\ln N\to -\infty. O fator N(\ln2-\ln N+1) tende a -\infty porque \ln N cresce sem limite e domina o termo constante; portanto o produto com N vai para -\infty. Mais formalmente, usando que \ln N cresce mais que qualquer constante, o termo dominante é -N\ln N e isso tende a -\infty.
Além disso B_N-1 é limitado (pois B_N\to B<\infty). Portanto S_N\to -\infty quando N\to\infty. Isso significa que as somas parciais divergem para -\infty: a série não converge a um número finito, diverge (especificamente para -\infty).
Interpretação intuitiva: para grandes n temos a_n=\ln(2/n)+o(1)=\ln2-\ln n+o(1). Como \sum_{n=1}^N \ln n=\ln(N!) cresce aproximadamente como N\ln N (pelo estimador acima ou por Stirling), os termos -\ln n somados produzem uma queda grande que vence o acréscimo N\ln2, levando a soma parcial ao -\infty.
Resposta
A série diverge, mais precisamente suas somas parciais tendem a -\infty.