Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
\int \frac{\operatorname{cossec}^{2} x}{1+\operatorname{cotg} x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{\csc^{2} x}{1+\cot x}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{\csc^{2} x}{1+\cot x} e precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.

Passo 2

Observação chave (que vai orientar a técnica): é útil lembrar a derivada de \cot x. Vou mostrar por que:
\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}. Diferenciando usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(\,-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^{2} x} = \frac{-\sin^{2}x - \cos^{2}x}{\sin^{2}x} = -\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x} = -\frac{1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x.
Portanto \dfrac{d}{dx}\cot x = -\csc^{2}x. Essa identidade é exatamente o que precisamos porque a integranda contém \csc^{2}x.

Passo 3

Escolho a substituição
u = 1 + \cot x,
porque sua derivada é simples (veja passo anterior). Diferenciando:
du = d(1+\cot x) = d(\cot x) = -\csc^{2}x\,dx.
Isolando o elemento \csc^{2}x\,dx que aparece na integral:
\csc^{2}x\,dx = -du.
Substituo na integral original:
\int \frac{\csc^{2}x}{1+\cot x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Agora integro -\int \dfrac{du}{u}. A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, portanto
-\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Retornando à variável x usando u=1+\cot x, obtenho a primitiva:
-\ln|1+\cot x| + C.

Passo 5

Verificação rápida por derivação (para conferir que não houve erro): calcule a derivada de -\ln|1+\cot x|:
\frac{d}{dx}\bigl(-\ln|1+\cot x|\bigr) = -\frac{1}{1+\cot x}\cdot \frac{d}{dx}(1+\cot x) = -\frac{1}{1+\cot x}\cdot(-\csc^{2}x) = \frac{\csc^{2}x}{1+\cot x},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.

Passo 6

Forma alternativa (opcional) — para reconhecer equivalências: usando \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} podemos escrever
1+\cot x=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x},
e então
-\ln|1+\cot x| = -\ln\left|\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right| = \ln|\sin x| - \ln|\sin x+\cos x| + C,
que é a mesma primitiva até constante.

Resposta

-\ln|1+\cot x| + C

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