Calcule as seguintes integrais, identificando as técnicas apropriadas para a resolução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
e precisamos encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração.
Passo 2
Observação chave (que vai orientar a técnica): é útil lembrar a derivada de
. Vou mostrar por que:
. Diferenciando usando a regra do quociente:
Portanto
. Essa identidade é exatamente o que precisamos porque a integranda contém
.
Passo 3
Escolho a substituição
porque sua derivada é simples (veja passo anterior). Diferenciando:
Isolando o elemento
que aparece na integral:
Substituo na integral original:
Passo 4
Agora integro
. A primitiva de
é
, portanto
onde
é a constante de integração. Retornando à variável
usando
, obtenho a primitiva:
Passo 5
Verificação rápida por derivação (para conferir que não houve erro): calcule a derivada de
:
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta.
Passo 6
Forma alternativa (opcional) — para reconhecer equivalências: usando
podemos escrever
e então
que é a mesma primitiva até constante.