Q4 [20.0] Dado o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 8.3 x_{1}+2.7 x_{2}-1.9 x_{3}= & 7.4 \\\\ -3.9 x_{1}+12.4 x_{2}+1.6 x_{3}= & -5.0 \\\\ 0.7 x_{1}-1.6 x_{2}+7.5 x_{3}= & 4.6 \end{aligned}\right.
(b) determine a solução aproximada do sistema linear, utilizando o método de Jacobi. Critério de parada: erro absoluto, na norma do máximo, com \epsilon=0.02. [NORMA dO MÁXIMO PARA VETORES: \left.\|\mathbf{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\left|x_{i}\right|\right\}.\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar uma solução aproximada do sistema linear usando o método de Jacobi com critério de parada baseado no erro absoluto na norma do máximo (infinito), com \epsilon=0,02\). - Sistema dado (peguei todos os coeficientes do enunciado): \[\begin{cases} 8{,}3\,x_1+2{,}7\,x_2-1{,}9\,x_3=7{,}4,\\[4pt] -3{,}9\,x_1+12{,}4\,x_2+1{,}6\,x_3=-5{,}0,\\[4pt] 0{,}7\,x_1-1{,}6\,x_2+7{,}5\,x_3=4{,}6. \end{cases}
O enunciado pede apenas a solução aproximada via Jacobi com a tolerância dada. Vou testar convergência, escrever as fórmulas de iteração e executar as iterações até que a norma do máximo da diferença entre iterações sucessivas seja menor que (\epsilon=0,02].]

Passo 2

Breve aula sobre o método de Jacobi e sobre o critério de parada usado:
  • Ideia do método de Jacobi: isolar cada incógnita em sua equação usando apenas os coeficientes da diagonal e, a cada iteração, calcular cada componente usando os valores da iteração anterior (ou seja, não usar valores já atualizados nesta iteração). Isso produz uma sequência \{\mathbf{x}^{(k)}\} que costuma convergir para a solução do sistema quando a matriz é convergente (por exemplo, se for estritamente diagonalmente dominante).
  • Para obter as fórmulas: de cada equação isolamos x_i dividindo pelo coeficiente diagonal a_{ii}.
  • Normas e critério de parada: a norma do máximo (infinito) para um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\|\mathbf{v}\|_{\infty}=\max\{|v_1|,|v_2|,|v_3|\}.
O critério de parada pedido é erro absoluto na norma do máximo com \epsilon=0,02. Vou usar o critério padrão para iterações: parar quando
\|\mathbf{x}^{(k)}-\mathbf{x}^{(k-1)}\|_{\infty}<0{,}02.

Passo 3

Verificação de convergência (diagonal dominante) — rápida explicação:
  • Para a linha 1: coeficiente diagonal 8{,}3 e soma dos valores absolutos dos outros coeficientes 2{,}7+1{,}9=4{,}6. Como 8{,}3>4{,}6, essa linha é estritamente dominante.
  • Linha 2: 12{,}4 vs 3{,}9+1{,}6=5{,}5. 12{,}4>5{,}5.
  • Linha 3: 7{,}5 vs 0{,}7+1{,}6=2{,}3. 7{,}5>2{,}3.
Como cada linha é estritamente diagonalmente dominante, o método de Jacobi converge para a solução do sistema. Bom sinal — podemos aplicar o método sem medo.

Passo 4

Montar as fórmulas de iteração (explicando cada termo):
Isolando cada incógnita nas equações dadas, obtemos as fórmulas de Jacobi:
x_1=\frac{1}{8{,}3}\bigl(7{,}4-2{,}7\,x_2+1{,}9\,x_3\bigr),
x_2=\frac{1}{12{,}4}\bigl(-5{,}0+3{,}9\,x_1-1{,}6\,x_3\bigr),
x_3=\frac{1}{7{,}5}\bigl(4{,}6-0{,}7\,x_1+1{,}6\,x_2\bigr).
Na iteração de Jacobi, os valores à direita são sempre os da iteração anterior. Vou escolher o palpite inicial padrão
\mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0),
e calcular \mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)},\dots até satisfazer o critério.
Nas contas vou mostrar os valores arredondados a 4 casas decimais para facilitar a leitura, mas mantendo precisão suficiente para verificar o critério.

Passo 5

Cálculo da iteração k=1 (a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)):
  • x_1^{(1)}=\dfrac{1}{8{,}3}\bigl(7{,}4-2{,}7\cdot0+1{,}9\cdot0\bigr)=\dfrac{7{,}4}{8{,}3}=0{,}8916.
  • x_2^{(1)}=\dfrac{1}{12{,}4}\bigl(-5{,}0+3{,}9\cdot0-1{,}6\cdot0\bigr)=\dfrac{-5{,}0}{12{,}4}=-0{,}4032.
  • x_3^{(1)}=\dfrac{1}{7{,}5}\bigl(4{,}6-0{,}7\cdot0+1{,}6\cdot0\bigr)=\dfrac{4{,}6}{7{,}5}=0{,}6133.
Logo
\mathbf{x}^{(1)}\approx(0{,}8916,\,-0{,}4032,\,0{,}6133).
Diferença \mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{x}^{(1)}. Norma do máximo:
\|\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\|_{\infty}=\max\{0{,}8916,0{,}4032,0{,}6133\}=0{,}8916>0{,}02,
portanto continuar.

Passo 6

Iteração k=2 (usar \mathbf{x}^{(1)}):
  • x_1^{(2)}=\dfrac{1}{8{,}3}\bigl(7{,}4-2{,}7\cdot(-0{,}4032)+1{,}9\cdot0{,}6133\bigr)
    \Rightarrow cálculo interno: -2{,}7\cdot(-0{,}4032)=0{,} +1{,}0886, 1{,}9\cdot0{,}6133=1{,}1653.
    Soma: 7{,}4+1{,}0886+1{,}1653=9{,}6540.
    Dividindo: x_1^{(2)}\approx1{,}1635.
  • x_2^{(2)}=\dfrac{1}{12{,}4}\bigl(-5{,}0+3{,}9\cdot0{,}8916-1{,}6\cdot0{,}6133\bigr)
    \Rightarrow 3{,}9\cdot0{,}8916=3{,}4771, 1{,}6\cdot0{,}6133=0{,}9813.
    Soma: -5{,}0+3{,}4771-0{,}9813=-2{,}5042.
    Divisão: x_2^{(2)}\approx-0{,}2018.
  • x_3^{(2)}=\dfrac{1}{7{,}5}\bigl(4{,}6-0{,}7\cdot0{,}8916+1{,}6\cdot(-0{,}4032)\bigr)
    \Rightarrow -0{,}7\cdot0{,}8916=-0{,}6241, 1{,}6\cdot(-0{,}4032)=-0{,}6451.
    Soma: 4{,}6-0{,}6241-0{,}6451=3{,}3307.
    Divisão: x_3^{(2)}\approx0{,}4441.
Logo
\mathbf{x}^{(2)}\approx(1{,}1635,\,-0{,}2018,\,0{,}4441).
Diferença e norma:
\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\approx(0{,}2719,\,0{,}2014,\,-0{,}1692),
\|\mathbf{x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}\|_{\infty}=0{,}2719>0{,}02,
continuamos.

Passo 7

Iteração k=3 (usar \mathbf{x}^{(2)}):
  • x_1^{(3)}=\dfrac{1}{8{,}3}\bigl(7{,}4-2{,}7\cdot(-0{,}2018)+1{,}9\cdot0{,}4441\bigr)
    \Rightarrow termos: +0{,}5448 e +0{,}8438. Soma: 8{,}7886. Divisão: x_1^{(3)}\approx1{,}0581.
  • x_2^{(3)}=\dfrac{1}{12{,}4}\bigl(-5{,}0+3{,}9\cdot1{,}1635-1{,}6\cdot0{,}4441\bigr)
    \Rightarrow 3{,}9\cdot1{,}1635=4{,}5376, 1{,}6\cdot0{,}4441=0{,}7106.
    Soma: -5{,}0+4{,}5376-0{,}7106=-1{,}1729. Divisão: x_2^{(3)}\approx-0{,}0946.
  • x_3^{(3)}=\dfrac{1}{7{,}5}\bigl(4{,}6-0{,}7\cdot1{,}1635+1{,}6\cdot(-0{,}2018)\bigr)
    \Rightarrow -0{,}7\cdot1{,}1635=-0{,}8145, 1{,}6\cdot(-0{,}2018)=-0{,}3229.
    Soma: 4{,}6-0{,}8145-0{,}3229=3{,}4627. Divisão: x_3^{(3)}\approx0{,}4617.
Logo
\mathbf{x}^{(3)}\approx(1{,}0581,\,-0{,}0946,\,0{,}4617).
Diferença:
\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\approx(-0{,}1054,\,0{,}1072,\,0{,}0176),
\|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty}=0{,}1054>0{,}02,
continua.

Passo 8

Iteração k=4 (usar \mathbf{x}^{(3)}):
  • x_1^{(4)}=\dfrac{1}{8{,}3}\bigl(7{,}4-2{,}7\cdot(-0{,}0946)+1{,}9\cdot0{,}4617\bigr)
    \Rightarrow termos: +0{,}2555 e +0{,}8772. Soma: 8{,}5328. Divisão: x_1^{(4)}\approx1{,}0276.
  • x_2^{(4)}=\dfrac{1}{12{,}4}\bigl(-5{,}0+3{,}9\cdot1{,}0581-1{,}6\cdot0{,}4617\bigr)
    \Rightarrow 3{,}9\cdot1{,}0581=4{,}1276, 1{,}6\cdot0{,}4617=0{,}7387.
    Soma: -5{,}0+4{,}1276-0{,}7387=-1{,}6111. Divisão: x_2^{(4)}\approx-0{,}1299.
  • x_3^{(4)}=\dfrac{1}{7{,}5}\bigl(4{,}6-0{,}7\cdot1{,}0581+1{,}6\cdot(-0{,}0946)\bigr)
    \Rightarrow -0{,}7\cdot1{,}0581=-0{,}7407, 1{,}6\cdot(-0{,}0946)=-0{,}1514.
    Soma: 4{,}6-0{,}7407-0{,}1514=3{,}7080. Divisão: x_3^{(4)}\approx0{,}4944.
Logo
\mathbf{x}^{(4)}\approx(1{,}0276,\,-0{,}1299,\,0{,}4944).
Diferença:
\mathbf{x}^{(4)}-\mathbf{x}^{(3)}\approx(-0{,}0305,\,-0{,}0353,\,0{,}0327),
\|\mathbf{x}^{(4)}-\mathbf{x}^{(3)}\|_{\infty}=0{,}0353>0{,}02,
ainda não basta.

Passo 9

Iteração k=5 (usar \mathbf{x}^{(4)}):
  • x_1^{(5)}=\dfrac{1}{8{,}3}\bigl(7{,}4-2{,}7\cdot(-0{,}1299)+1{,}9\cdot0{,}4944\bigr)
    \Rightarrow termos: +0{,}3508 e +0{,}9394. Soma: 8{,}6902. Divisão: x_1^{(5)}\approx1{,}0472.
  • x_2^{(5)}=\dfrac{1}{12{,}4}\bigl(-5{,}0+3{,}9\cdot1{,}0276-1{,}6\cdot0{,}4944\bigr)
    \Rightarrow 3{,}9\cdot1{,}0276=4{,}0076, 1{,}6\cdot0{,}4944=0{,}7910.
    Soma: -5{,}0+4{,}0076-0{,}7910=-1{,}7834. Divisão: x_2^{(5)}\approx-0{,}1439.
  • x_3^{(5)}=\dfrac{1}{7{,}5}\bigl(4{,}6-0{,}7\cdot1{,}0276+1{,}6\cdot(-0{,}1299)\bigr)
    \Rightarrow -0{,}7\cdot1{,}0276=-0{,}7193, 1{,}6\cdot(-0{,}1299)=-0{,}2078.
    Soma: 4{,}6-0{,}7193-0{,}2078=3{,}6729. Divisão: x_3^{(5)}\approx0{,}4897.
Logo
\mathbf{x}^{(5)}\approx(1{,}0472,\,-0{,}1439,\,0{,}4897).
Diferença:
\mathbf{x}^{(5)}-\mathbf{x}^{(4)}\approx(0{,}0196,\,-0{,}01399,\,-0{,}0047),
\|\mathbf{x}^{(5)}-\mathbf{x}^{(4)}\|_{\infty}=0{,}0196.
Como 0{,}0196<0{,}02, o critério de parada foi satisfeito. Podemos aceitar \mathbf{x}^{(5)} como solução aproximada pelo método de Jacobi com a tolerância pedida.

Passo 10

Comentário final e interpretação do resultado:
  • Paramos na iteração k=5 porque a norma do máximo da variação entre iterações consecutivas ficou abaixo de \epsilon=0{,}02.
  • A solução aproximada tem precisão consistente com o critério pedido. Se fosse necessário mais precisão, bastaria reduzir \epsilon e continuar as iterações.
  • Fica o lembrete prático: sempre verifique (como fizemos) se a matriz é diagonalmente dominante ou aplicar outro critério de convergência antes de usar Jacobi; isso evita surpresas.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}\approx(1{,}0472,\,-0{,}1439,\,0{,}4897)

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