(b) determine a solução aproximada do sistema linear, utilizando o método de Jacobi. Critério de parada: erro absoluto, na norma do máximo, com \epsilon=0.02. [NORMA dO MÁXIMO PARA VETORES: \left.\|\mathbf{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\left|x_{i}\right|\right\}.\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede: determinar uma solução aproximada do sistema linear usando o método de Jacobi com critério de parada baseado no erro absoluto na norma do máximo (infinito), com \epsilon=0,02\).
- Sistema dado (peguei todos os coeficientes do enunciado):
\[\begin{cases} 8{,}3\,x_1+2{,}7\,x_2-1{,}9\,x_3=7{,}4,\\[4pt] -3{,}9\,x_1+12{,}4\,x_2+1{,}6\,x_3=-5{,}0,\\[4pt] 0{,}7\,x_1-1{,}6\,x_2+7{,}5\,x_3=4{,}6. \end{cases}
O enunciado pede apenas a solução aproximada via Jacobi com a tolerância dada. Vou testar convergência, escrever as fórmulas de iteração e executar as iterações até que a norma do máximo da diferença entre iterações sucessivas seja menor que (\epsilon=0,02].]
Passo 2
Breve aula sobre o método de Jacobi e sobre o critério de parada usado:
Ideia do método de Jacobi: isolar cada incógnita em sua equação usando apenas os coeficientes da diagonal e, a cada iteração, calcular cada componente usando os valores da iteração anterior (ou seja, não usar valores já atualizados nesta iteração). Isso produz uma sequência \{\mathbf{x}^{(k)}\} que costuma convergir para a solução do sistema quando a matriz é convergente (por exemplo, se for estritamente diagonalmente dominante).
Para obter as fórmulas: de cada equação isolamos x_i dividindo pelo coeficiente diagonal a_{ii}.
Normas e critério de parada: a norma do máximo (infinito) para um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
Verificação de convergência (diagonal dominante) — rápida explicação:
Para a linha 1: coeficiente diagonal 8{,}3 e soma dos valores absolutos dos outros coeficientes 2{,}7+1{,}9=4{,}6. Como 8{,}3>4{,}6, essa linha é estritamente dominante.
Linha 2: 12{,}4 vs 3{,}9+1{,}6=5{,}5. 12{,}4>5{,}5.
Linha 3: 7{,}5 vs 0{,}7+1{,}6=2{,}3. 7{,}5>2{,}3.
Como cada linha é estritamente diagonalmente dominante, o método de Jacobi converge para a solução do sistema. Bom sinal — podemos aplicar o método sem medo.
Passo 4
Montar as fórmulas de iteração (explicando cada termo):
Isolando cada incógnita nas equações dadas, obtemos as fórmulas de Jacobi:
Na iteração de Jacobi, os valores à direita são sempre os da iteração anterior. Vou escolher o palpite inicial padrão
\mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0),
e calcular \mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)},\dots até satisfazer o critério.
Nas contas vou mostrar os valores arredondados a 4 casas decimais para facilitar a leitura, mas mantendo precisão suficiente para verificar o critério.
Passo 5
Cálculo da iteração k=1 (a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)):
Como 0{,}0196<0{,}02, o critério de parada foi satisfeito. Podemos aceitar \mathbf{x}^{(5)} como solução aproximada pelo método de Jacobi com a tolerância pedida.
Passo 10
Comentário final e interpretação do resultado:
Paramos na iteração k=5 porque a norma do máximo da variação entre iterações consecutivas ficou abaixo de \epsilon=0{,}02.
A solução aproximada tem precisão consistente com o critério pedido. Se fosse necessário mais precisão, bastaria reduzir \epsilon e continuar as iterações.
Fica o lembrete prático: sempre verifique (como fizemos) se a matriz é diagonalmente dominante ou aplicar outro critério de convergência antes de usar Jacobi; isso evita surpresas.