- Usando o vetor
diretor de uma reta
e o vetor normal
de um plano
, como concluir se a reta
é paralela ou não ao plano
? Caso seja paralela, como decidir se ela está ou não contida em
? Caso seja transversal ao plano, como saber se ela é ou não perpendicular ao plano?
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (sem resolver nada ainda):
- Dado: o vetor diretor da reta
é . - Dado: o vetor normal do plano
é . - Perguntas que devemos responder:
- Como concluir se a reta
é paralela ou não ao plano ? - Se for paralela, como decidir se ela está contida em
ou é apenas paralela e distinta? - Se for transversal (não paralela), como saber se é ou não perpendicular ao plano?
- Como concluir se a reta
Passo 2
Conceito básico e ferramenta principal: o produto escalar.
- Definição (vetorial/analítica): para dois vetores
e em , o produto escalar é . - Interpretação geométrica:
, onde é o ângulo entre e . - Consequência útil:
se e somente se e são ortogonais (ângulo de ).
Aplicação imediata ao problema:
é normal ao plano
, logo
é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano. Se a direção
da reta satisfaz
, então
é perpendicular a
e, portanto,
está contido (direção) no plano — isto é, a reta é paralela ao plano (pode ser ou estar dentro dele).
Passo 3
Teste direto e prático para saber se
é paralela a
: calcular
.
- Se
então a reta é paralela ao plano . - Se
então a reta não é paralela ao plano — ela é transversal (cruza o plano em um único ponto).
Explicação curta do porquê: como
é perpendicular a todo vetor do plano, ter
significa que
é um desses vetores do plano (ou seja, paralelo ao plano). Se o produto escalar não é zero,
tem componente na direção normal, então a reta atravessa o plano.
Passo 4
Se
(caso paralelo): como decidir se a reta está contida no plano ou é paralela distinta?
- Seja
um ponto qualquer da reta (conhecer um ponto da reta é parte dos dados de qualquer reta em forma paramétrica) e seja um ponto qualquer do plano (parte dos dados do plano). A equação vetorial do plano é:
- A reta em forma paramétrica é:
- Substituindo na equação do plano:
Como no caso temos
, a expressão fica simplesmente
.
- Logo: se
então toda a reta satisfaz a equação do plano (porque o termo dependente de é zero), ou seja, a reta está contida em . Se então nenhum ponto da reta satisfaz a equação do plano, logo a reta é paralela e distinta do plano.
Resumo prático para o caso paralelo: basta checar um único ponto
da reta e verificar
.
Passo 5
Se
(caso transversal): existência e cálculo do ponto de interseção.
- Para achar o parâmetro
do ponto de interseção basta resolver
Isto dá
- Como o denominador
é diferente de zero, existe um único real: portanto a reta cruza o plano exatamente em um ponto (interseção única). Esse é o sentido de “transversal”.
Passo 6
Como decidir se a reta transversal é perpendicular ao plano? (condição de perpendicularidade)
- Definição: a reta
é perpendicular ao plano quando sua direção é perpendicular a todo vetor do plano; isso equivale a dizer que a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Em símbolos: se e somente se existe , , tal que
- Testes equivalentes práticos:
- Verificar se
e são colineares (isto é, um é múltiplo escalar do outro). - Em termos do produto vetorial, isto é equivalente a
(colinearidade) e além disso .
- Verificar se
- Observação: se
então (desde que ), portanto uma reta perpendicular ao plano é necessariamente transversal (cruza o plano).
Passo 7
Checklist prático — o que calcular na prova (passo a passo rápido):
- Calcule
. - Se
: a reta é paralela ao plano. - Pegue um ponto
da reta e um ponto do plano. Calcule . - Se
então . Caso contrário, é paralela e distinta de .
- Pegue um ponto
- Se
: a reta é transversal (intersecta o plano em um ponto). O parâmetro do ponto de interseção é
- Para verificar perpendicularidade, cheque se existe
tal que (ou verifique e ). Se sim, .
Passo 8
Dois exemplos curtinhos para fixar (faça o mesmo na prova com os dados que tiver):
- Exemplo A (paralela e contida):
, .
então é paralela. Se um ponto da reta tem coordenadas e o plano tem um ponto com mesma normal, então , logo . - Exemplo B (transversal e perpendicular):
, .
Note que, logo são colineares; portanto . Também , então é transversal com interseção única.
Resposta
Se
Se
A reta