1. Usando o vetor \vec{v} diretor de uma reta r e o vetor normal \vec{n} de um plano \pi, como concluir se a reta r é paralela ou não ao plano \pi ? Caso seja paralela, como decidir se ela está ou não contida em \pi ? Caso seja transversal ao plano, como saber se ela é ou não perpendicular ao plano?

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (sem resolver nada ainda):
  • Dado: o vetor diretor da reta r é \vec{v}.
  • Dado: o vetor normal do plano \pi é \vec{n}.
  • Perguntas que devemos responder:
    1. Como concluir se a reta r é paralela ou não ao plano \pi?
    2. Se for paralela, como decidir se ela está contida em \pi ou é apenas paralela e distinta?
    3. Se for transversal (não paralela), como saber se é ou não perpendicular ao plano?

Passo 2

Conceito básico e ferramenta principal: o produto escalar.
  • Definição (vetorial/analítica): para dois vetores \vec{a} e \vec{b} em \mathbb{R}^3, o produto escalar é \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • Interpretação geométrica: \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • Consequência útil: \vec{a}\cdot\vec{b}=0 se e somente se \vec{a} e \vec{b} são ortogonais (ângulo de 90^\circ).
Aplicação imediata ao problema: \vec{n} é normal ao plano \pi, logo \vec{n} é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano. Se a direção \vec{v} da reta satisfaz \vec{v}\cdot\vec{n}=0, então \vec{v} é perpendicular a \vec{n} e, portanto, \vec{v} está contido (direção) no plano — isto é, a reta é paralela ao plano (pode ser ou estar dentro dele).

Passo 3

Teste direto e prático para saber se r é paralela a \pi: calcular \vec{v}\cdot\vec{n}.
  • Se \vec{v}\cdot\vec{n}=0 então a reta r é paralela ao plano \pi.
  • Se \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0 então a reta r não é paralela ao plano — ela é transversal (cruza o plano em um único ponto).
Explicação curta do porquê: como \vec{n} é perpendicular a todo vetor do plano, ter \vec{v}\cdot\vec{n}=0 significa que \vec{v} é um desses vetores do plano (ou seja, paralelo ao plano). Se o produto escalar não é zero, \vec{v} tem componente na direção normal, então a reta atravessa o plano.

Passo 4

Se \vec{v}\cdot\vec{n}=0 (caso paralelo): como decidir se a reta está contida no plano ou é paralela distinta?
  • Seja P um ponto qualquer da reta r (conhecer um ponto da reta é parte dos dados de qualquer reta em forma paramétrica) e seja A um ponto qualquer do plano \pi (parte dos dados do plano). A equação vetorial do plano é:
(X-A)\cdot\vec{n}=0.
  • A reta em forma paramétrica é:
X = P + t\vec{v},\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Substituindo na equação do plano:
(P + t\vec{v} - A)\cdot\vec{n} = (P-A)\cdot\vec{n} + t(\vec{v}\cdot\vec{n}).
Como no caso temos \vec{v}\cdot\vec{n}=0, a expressão fica simplesmente (P-A)\cdot\vec{n}.
  • Logo: se (P-A)\cdot\vec{n}=0 então toda a reta satisfaz a equação do plano (porque o termo dependente de t é zero), ou seja, a reta está contida em \pi. Se (P-A)\cdot\vec{n}\neq 0 então nenhum ponto da reta satisfaz a equação do plano, logo a reta é paralela e distinta do plano.
Resumo prático para o caso paralelo: basta checar um único ponto P da reta e verificar (P-A)\cdot\vec{n}=0.

Passo 5

Se \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0 (caso transversal): existência e cálculo do ponto de interseção.
  • Para achar o parâmetro t do ponto de interseção basta resolver
(P + t\vec{v} - A)\cdot\vec{n} = 0.
Isto dá
t = -\dfrac{(P-A)\cdot\vec{n}}{\vec{v}\cdot\vec{n}}.
  • Como o denominador \vec{v}\cdot\vec{n} é diferente de zero, existe um único t real: portanto a reta cruza o plano exatamente em um ponto (interseção única). Esse é o sentido de “transversal”.

Passo 6

Como decidir se a reta transversal é perpendicular ao plano? (condição de perpendicularidade)
  • Definição: a reta r é perpendicular ao plano \pi quando sua direção é perpendicular a todo vetor do plano; isso equivale a dizer que a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Em símbolos: r\perp\pi se e somente se existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq 0, tal que
\vec{v}=\lambda\vec{n}.
  • Testes equivalentes práticos:
    1. Verificar se \vec{v} e \vec{n} são colineares (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
    2. Em termos do produto vetorial, isto é equivalente a \vec{v}\times\vec{n}=\vec{0} (colinearidade) e além disso \vec{v}\neq\vec{0}.
  • Observação: se \vec{v}=\lambda\vec{n} então \vec{v}\cdot\vec{n}=\lambda\|\vec{n}\|^2\neq 0 (desde que \lambda\neq 0), portanto uma reta perpendicular ao plano é necessariamente transversal (cruza o plano).

Passo 7

Checklist prático — o que calcular na prova (passo a passo rápido):
  1. Calcule \vec{v}\cdot\vec{n}.
  2. Se \vec{v}\cdot\vec{n}=0: a reta é paralela ao plano.
    • Pegue um ponto P da reta e um ponto A do plano. Calcule (P-A)\cdot\vec{n}.
    • Se (P-A)\cdot\vec{n}=0 então r\subset\pi. Caso contrário, r é paralela e distinta de \pi.
  3. Se \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0: a reta é transversal (intersecta o plano em um ponto). O parâmetro do ponto de interseção é
t = -\dfrac{(P-A)\cdot\vec{n}}{\vec{v}\cdot\vec{n}}.
  1. Para verificar perpendicularidade, cheque se existe \lambda tal que \vec{v}=\lambda\vec{n} (ou verifique \vec{v}\times\vec{n}=\vec{0} e \vec{v}\neq\vec{0}). Se sim, r\perp\pi.

Passo 8

Dois exemplos curtinhos para fixar (faça o mesmo na prova com os dados que tiver):
  • Exemplo A (paralela e contida): \vec{v}=(1,2,0), \vec{n}=(0,0,1).
    \vec{v}\cdot\vec{n}=0 então r é paralela. Se um ponto P da reta tem coordenadas (1,0,3) e o plano tem um ponto A=(0,0,3) com mesma normal, então (P-A)\cdot\vec{n}=0, logo r\subset\pi.
  • Exemplo B (transversal e perpendicular): \vec{v}=(2,4,6), \vec{n}=(1,2,3).
    Note que \vec{v}=2\vec{n}, logo são colineares; portanto r\perp\pi. Também \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0, então é transversal com interseção única.

Resposta

r é paralela a \pi se, e somente se, \vec{v}\cdot\vec{n}=0.\n
Se \vec{v}\cdot\vec{n}=0, então r\subset\pi exatamente quando, para um ponto P da reta e um ponto A do plano, se tem (P-A)\cdot\vec{n}=0; caso contrário r é paralela e distinta de \pi.\n
Se \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0, a reta é transversal (interseção única) e o parâmetro da interseção é t=-\dfrac{(P-A)\cdot\vec{n}}{\vec{v}\cdot\vec{n}}.\n
A reta r é perpendicular ao plano \pi se, e somente se, \vec{v} é colinear com \vec{n} (isto é, existe \lambda tal que \vec{v}=\lambda\vec{n}).

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