1. Se, ao invés de um vetor normal a \pi, conhecermos dois vetores \vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) e \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) paralelos a \pi e não paralelos entre si, podemos obter sua equação geral através do produto misto. Se A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in \pi e P=(x, y, z) é um ponto qualquer de \pi, devemos ter [\overrightarrow{A P}, \vec{u}, \vec{v}]=0. Porquê? Escreva a expressão [\overrightarrow{A P}, \vec{u}, \vec{v}]=0 na notação de determinante.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (escrito de forma clara):
  • Dados: dois vetores \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) que são paralelos ao plano \pi e não são paralelos entre si; um ponto A=(x_{1},y_{1},z_{1}) pertencente a \pi; e um ponto genérico P=(x,y,z) também em \pi.
  • Afirmação a justificar: deve acontecer [\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0. Pergunta-se por quê.
  • Pedido adicional: escrever a expressão [\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0 na notação de determinante.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o vetor \overrightarrow{AP}. Por definição de vetor entre dois pontos,
\overrightarrow{AP} = P-A = (x-x_{1},\,y-y_{1},\,z-z_{1}).
Isto significa que as componentes de \overrightarrow{AP} são x-x_{1}, y-y_{1} e z-z_{1}.

Passo 3

Definição do produto misto (ou produto triplo escalar) e seu significado geométrico.
  • Para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^{3} define-se
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] := \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
  • Geometricamente, |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]| é o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Em particular, se os três vetores forem coplanares (estiverem no mesmo plano) esse volume é 0, logo o produto misto é 0.

Passo 4

Aplicando o significado geométrico ao nosso caso. Como \vec{u} e \vec{v} são vetores paralelos a \pi e A,P\in\pi, o vetor \overrightarrow{AP} também está contido em \pi. Assim os três vetores \overrightarrow{AP}, \vec{u} e \vec{v} estão no mesmo plano (são coplanares). Pelo argumento geométrico anterior, o paralelepípedo que eles formariam tem volume zero, portanto
[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}] = 0.
Isto é a justificativa geométrica pedida.

Passo 5

Apresentando uma justificativa algébrica curta e útil para a prova (sem depender da interpretação de volume). Como \vec{u} e \vec{v} geram o plano \pi (são não paralelos), existe uma combinação linear
\overrightarrow{AP} = \alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}
para certos escalares \alpha,\beta. Usando linearidade do produto misto em sua primeira entrada,
[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}] = [\alpha\vec{u}+\beta\vec{v},\vec{u},\vec{v}] = \alpha[\vec{u},\vec{u},\vec{v}] + \beta[\vec{v},\vec{u},\vec{v}].
Mas qualquer produto misto que tenha dois vetores iguais vale zero, logo [\vec{u},\vec{u},\vec{v}]=0 e [\vec{v},\vec{u},\vec{v}]=0. Portanto o resultado é zero:
[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0.
Este argumento é útil na prova porque só usa propriedades algébricas básicas do produto misto.

Passo 6

Escrevendo o produto misto como determinante (a notação pedida). O produto misto [\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}] é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Tomando as linhas, obtemos:
[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}] = \begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix}.
Como demonstrado geometricamente ou algebricamente, esse determinante deve ser igual a zero para todo P\in\pi. Portanto a equação do plano (na forma produto misto) fica escrita como o determinante acima igual a zero.

Resposta

\begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix}=0

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