Se, ao invés de um vetor normal a \pi, conhecermos dois vetores \vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) e \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) paralelos a \pi e não paralelos entre si, podemos obter sua equação geral através do produto misto. Se A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in \pi e P=(x, y, z) é um ponto qualquer de \pi, devemos ter [\overrightarrow{A P}, \vec{u}, \vec{v}]=0. Porquê? Escreva a expressão [\overrightarrow{A P}, \vec{u}, \vec{v}]=0 na notação de determinante.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (escrito de forma clara):
Dados: dois vetores \vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) que são paralelos ao plano \pi e não são paralelos entre si; um ponto A=(x_{1},y_{1},z_{1}) pertencente a \pi; e um ponto genérico P=(x,y,z) também em \pi.
Afirmação a justificar: deve acontecer [\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0. Pergunta-se por quê.
Pedido adicional: escrever a expressão [\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0 na notação de determinante.
Passo 2
Escrevendo explicitamente o vetor \overrightarrow{AP}. Por definição de vetor entre dois pontos,
Geometricamente, |[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]| é o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Em particular, se os três vetores forem coplanares (estiverem no mesmo plano) esse volume é 0, logo o produto misto é 0.
Passo 4
Aplicando o significado geométrico ao nosso caso. Como \vec{u} e \vec{v} são vetores paralelos a \pi e A,P\in\pi, o vetor \overrightarrow{AP} também está contido em \pi. Assim os três vetores \overrightarrow{AP}, \vec{u} e \vec{v} estão no mesmo plano (são coplanares). Pelo argumento geométrico anterior, o paralelepípedo que eles formariam tem volume zero, portanto
[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}] = 0.
Isto é a justificativa geométrica pedida.
Passo 5
Apresentando uma justificativa algébrica curta e útil para a prova (sem depender da interpretação de volume). Como \vec{u} e \vec{v} geram o plano \pi (são não paralelos), existe uma combinação linear
Mas qualquer produto misto que tenha dois vetores iguais vale zero, logo [\vec{u},\vec{u},\vec{v}]=0 e [\vec{v},\vec{u},\vec{v}]=0. Portanto o resultado é zero:
[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0.
Este argumento é útil na prova porque só usa propriedades algébricas básicas do produto misto.
Passo 6
Escrevendo o produto misto como determinante (a notação pedida). O produto misto [\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}] é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores. Tomando as linhas, obtemos:
Como demonstrado geometricamente ou algebricamente, esse determinante deve ser igual a zero para todo P\in\pi. Portanto a equação do plano (na forma produto misto) fica escrita como o determinante acima igual a zero.