(20) Um anel de raio R localizado no plano x y com centro na origem tem carga total positiva Q uniformemente distribuída.
(e)Mostre que uma carga negativa pode ser mantida em oscilação de pequena amplitude em torno do centro do anel, se movendo ao longo do eixo do anel. Para mostrar esse resultado verifique que a força sobre a carga é sempre na direção do centro do anel e é proporciaonal à distância ao centro do anel (F=-kx). Então use a teoria do sistema massa-mola (oscilador harmônico), conforme foi usada na questão 15 .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: a gente tem um anel de raio , no plano , com carga total positiva distribuída uniformemente. A ideia é mostrar que uma carga negativa de massa e valor (onde é o módulo da carga) “balança” de um lado pro outro ao longo do eixo do anel (o eixo ), como se fosse uma mola — ou seja, que a força resultante é sempre dirigida pro centro e proporcional à distância . Daí a gente vai reconhecer um oscilador harmônico massa-mola, achar a constante elástica e o período de oscilação.
Pra isso, vamos precisar de:
  1. o campo elétrico no eixo de um anel carregado;
  2. aproximar pra usando expansão binomial;
  3. lembrar da equação do oscilador harmônico .

Passo 2

Campo elétrico no eixo de um anel de raio E(z);=;14pivarepsilon0,Q,zl(R^2+z^2r)^3/2 com carga total F(z);=;(-q),E(z) ;=; -;q;14pivarepsilon0,Q,zl(R^2+z^2r)^3/2 :
Essa fórmula sai de somar contributions de cada pedacinho de carga do anel, mas a gente usa direto. Como a nossa carga é , a força sobre ela é

Passo 3

Agora, “pequena amplitude” quer dizer l(R^2+z^2r)^-3/2 =R^-3l(1+tfracz^2R^2r)^-3/2 approx R^-3l(1 - tfrac32tfracz^2R^2+cdotsr) . Aí a gente faz uma expansão binomial em 1(R^2+z^2)^3/2approx1R^3 :
F(z)approx -,q,14pivarepsilon0,Q,zR^3 ;=; -,underbracel(qQ4pivarepsilon0,R^3r)k;z
Mantendo só até ordem k=qQ4pivarepsilon0,R^3 dentro do parêntese, fica
Substituindo em :
Pronto! A força é da forma , com

Passo 4

Quando a força é m,ddot z = -k,z, , a equação de movimento é
omega=raizkm =raizqQ4pivarepsilon0,m,R^3
que é exatamente a equação do oscilador harmônico simples. A frequência angular T=2piomega =2piraizmk =2piraiz4pivarepsilon0,m,R^3qQ satisfaz
O período de oscilação é

Resposta

  1. Para pequenas oscilações boxedF(z)=-,k,z, k=q,Q4pivarepsilon0,R^3 , a força sobre a carga omega=raizqQ4pivarepsilon0,m,R^3 e T=2piraiz4pivarepsilon0,m,R^3qQ é
  1. Trata-se de um oscilador harmônico com

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