(21)Um disco de raio R uniformente carregado com carga total Q pode ser decomposto em anéis de carga, sendo cada anel de raio r correspondente à área 2 pi r d r onde d r é a espessura do anel. Desse modo o campo do disco é a soma dos campos dos anéis elementares. Em particular em pontos do eixo ( y ) do disco o campo tem apenas a componennte y.
(a)Obtenha o campo elétrico ao longo do eixo do disco, a uma distância y da superfície do disco, usando como ponto de partida a expressão do campo elétrico ao longo do eixo de um anel.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o campo elétrico (E) ao longo do eixo de um disco de raio , uniformemente carregado com carga total . A distância é medida a partir da superfície do disco (no eixo ).
Conteúdo: superposição de infinitos anéis carregados + integração.
O que vamos precisar:
  1. expressão do campo no eixo de um anel de raio ,
  2. decompor o disco em anéis de espessura ,
  3. integrar de até .

Passo 2

Campo de um anel de raio dE = 14pivarepsilon0,q,yl(y^2 + r^2r)^3/2 :
Se o anel tem carga e estamos num ponto do eixo a distância do plano do anel, o módulo do campo é
Esse resultado vem de dividir o campo em cada pedacinho do anel e notar que só a componente ao longo do eixo sobrevive (as radiais se cancelam).

Passo 3

Agora, nosso disco tem carga total sigma = Qpi R^2 distribuída uniformemente numa área dq = sigma,dA = sigma,2pi r,dr , ou seja, densidade de carga de superfície
dE = 14pivarepsilon0,(sigma,2pi r,dr),yl(y^2 + r^2r)^3/2 = sigma,y2varepsilon0,r,drl(y^2 + r^2r)^3/2
Um anel de raio e espessura tem área , então sua carga é
Substituindo em , a contribuição de cada anel é

Passo 4

Agora somamos (integramos) todos esses anéis de E = integral0^R dE = sigma,y2varepsilon0integral0^R r,dr(y^2 + r^2)^3/2 até integral0^R r,dr(y^2 + r^2)^3/2 = 12integraly^2^y^2+R^2 u^-3/2,du = 12l[ -2,u^-1/2r]y^2^y^2+R^2 = l[1y - 1raizy^2+R^2r] :
E = sigma,y2varepsilon0l(1y - 1raizy^2+R^2r) = sigma2varepsilon0l(1 - yraizy^2+R^2r)
Para resolver a integral, fazemos , daí e quando , ; quando , .
Então

Passo 5

Só falta escrever em termos de E(y) = 12varepsilon0,Qpi R^2l(1 - yraizy^2+R^2r) = Q2pivarepsilon0,R^2l(1 - yraizy^2+R^2r) . Como , temos

Resposta


(apontando ao longo do eixo , para fora do disco).

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