(21)Um disco de raio
uniformente carregado com carga total
pode ser decomposto em anéis de carga, sendo cada anel de raio
correspondente à área
onde
é a espessura do anel. Desse modo o campo do disco é a soma dos campos dos anéis elementares. Em particular em pontos do eixo (
) do disco o campo tem apenas a componennte
.
(a)Obtenha o campo elétrico ao longo do eixo do disco, a uma distância
da superfície do disco, usando como ponto de partida a expressão do campo elétrico ao longo do eixo de um anel.
(a)Obtenha o campo elétrico ao longo do eixo do disco, a uma distância
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o campo elétrico (E) ao longo do eixo de um disco de raio
, uniformemente carregado com carga total
. A distância
é medida a partir da superfície do disco (no eixo
).
Conteúdo: superposição de infinitos anéis carregados + integração.
O que vamos precisar:
Conteúdo: superposição de infinitos anéis carregados + integração.
O que vamos precisar:
- expressão do campo no eixo de um anel de raio
, - decompor o disco em anéis de espessura
, - integrar de
até .
Passo 2
Campo de um anel de raio
:
Se o anel tem carga e estamos num ponto do eixo a distância
do plano do anel, o módulo do campo é
Se o anel tem carga
Esse resultado vem de dividir o campo em cada pedacinho do anel e notar que só a componente ao longo do eixo sobrevive (as radiais se cancelam).
Passo 3
Agora, nosso disco tem carga total
distribuída uniformemente numa área
, ou seja, densidade de carga de superfície
Um anel de raio
e espessura
tem área
, então sua carga é
Substituindo
em
, a contribuição de cada anel é
Passo 4
Agora somamos (integramos) todos esses anéis de
até
:
Para resolver a integral, fazemos
, daí
e quando
,
; quando
,
.
Então
Passo 5
Só falta escrever em termos de
. Como
, temos
Resposta
(apontando ao longo do eixo