(20) Um anel de raio R localizado no plano x y com centro na origem tem carga total positiva Q uniformemente distribuída.
©Mostre usando apenas argumentos qualitativos que deve haver um valor de z para o qual Ez(z) é máximo.

Passo 1

Beleza, a questão é essa: a gente tem um anel de raio , cheio de carga positiva distribuída uniformemente, tudo no plano com centro na origem. O que pedem é, sem mexer em contas pesadas, só com argumentos qualitativos, mostrar que ao longo do eixo (isto é, acima do anel) o componente do campo elétrico atinge um valor máximo para algum .
Conteúdo: campo elétrico de distribuições contínuas, superposição, simetria e comportamento em limites. Vamos usar:
  • Simetria para ver que em o campo é zero.
  • Comportamento para .
  • Continuidade do campo em .

Passo 2

Primeiro, vê o que rola em Ez(0)=0 . Se você está bem no centro do anel, cada pedacinho do anel puxa o campo em direções que têm componente e , mas, por simetria, elas se cancelam. Logo,
Aqui usei a ideia de simetria circular: o anel é igual em todos os ângulos, então não sobra “empurrão” pra cima nem pra baixo.

Passo 3

Agora pensa lá longe, Ez(z)approx 14pivarepsilon0Qz^2, . Quando você está muito distante do anel, ele parece um pontinho carregado, de carga total limztoinftyEz(z)=0 . Aí o campo se comporta como
que vai pra zero quando cresce demais. Conclusão:

Passo 4

Entre esses dois extremos, em algum lugar a gente sabe que o campo é positivo (porque, um pouquinho acima do anel, todos os “vetores de campo” têm componente pra cima e não se cancelam totalmente). Então para pequeno, e depois volta a cair para zero lá no infinito.

Passo 5

Como o campo muda de 0 (em ) para valores positivos, e depois volta a 0 (em ), e ainda é uma função contínua de (nenhum salto maluco acontece), o teorema de valor extremo garante que existe pelo menos um ponto onde atinge valor máximo.

Resposta

Por simetria , por comportamento a distância quando , e sabendo que é contínuo e fica positivo antes de voltar a zero, concluímos qualitativamente que deve existir algum em que é máximo.

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