(20) Um anel de raio R localizado no plano
com centro na origem tem carga total positiva
uniformemente distribuída.
©Mostre usando apenas argumentos qualitativos que deve haver um valor de
para o qual
é máximo.
©Mostre usando apenas argumentos qualitativos que deve haver um valor de
Passo 1
Beleza, a questão é essa: a gente tem um anel de raio
, cheio de carga positiva
distribuída uniformemente, tudo no plano
com centro na origem. O que pedem é, sem mexer em contas pesadas, só com argumentos qualitativos, mostrar que ao longo do eixo
(isto é, acima do anel) o componente do campo elétrico
atinge um valor máximo para algum
.
Conteúdo: campo elétrico de distribuições contínuas, superposição, simetria e comportamento em limites. Vamos usar:
Conteúdo: campo elétrico de distribuições contínuas, superposição, simetria e comportamento em limites. Vamos usar:
- Simetria para ver que em
o campo é zero. - Comportamento para
. - Continuidade do campo em
.
Passo 2
Primeiro, vê o que rola em
. Se você está bem no centro do anel, cada pedacinho do anel puxa o campo em direções que têm componente
e
, mas, por simetria, elas se cancelam. Logo,
Aqui usei a ideia de simetria circular: o anel é igual em todos os ângulos, então não sobra “empurrão” pra cima nem pra baixo.
Passo 3
Agora pensa lá longe,
. Quando você está muito distante do anel, ele parece um pontinho carregado, de carga total
. Aí o campo se comporta como
que vai pra zero quando
cresce demais. Conclusão:
Passo 4
Entre esses dois extremos, em algum lugar a gente sabe que o campo é positivo (porque, um pouquinho acima do anel, todos os “vetores de campo” têm componente pra cima e não se cancelam totalmente). Então
para
pequeno, e depois volta a cair para zero lá no infinito.
Passo 5
Como o campo
muda de 0 (em
) para valores positivos, e depois volta a 0 (em
), e ainda é uma função contínua de
(nenhum salto maluco acontece), o teorema de valor extremo garante que existe pelo menos um ponto
onde
atinge valor máximo.
Resposta
Por simetria
, por comportamento a distância
quando
, e sabendo que
é contínuo e fica positivo antes de voltar a zero, concluímos qualitativamente que deve existir algum
em que
é máximo.