20. Aplicação em Computação Gráfica - Projeção Ortogonal:
Em um software de modelagem 3D, um ponto de luz está localizado em
. Este ponto projeta uma sombra de um pequeno objeto localizado no ponto
sobre um plano que representa o chão, cuja equação é
. Para calcular a posição da sombra, é necessário encontrar a projeção ortogonal do ponto
no plano. (Observação: este problema é uma simplificação, a sombra real estaria na interseção da reta PQ com o plano). Determine a projeção ortogonal do ponto
sobre o plano
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
,
e o plano chão
com equação
.
O que a questão pede: determinar a projeção ortogonal do ponto sobre o plano
.
Lista das informações relevantes:
(ponto a ser projetado),
(plano alvo da projeção).
O que a questão pede: determinar a projeção ortogonal do ponto
Lista das informações relevantes:
Passo 2
Ideia geral da projeção ortogonal num plano: para projetar ortogonalmente um ponto num plano, subtraímos do ponto a componente na direção normal ao plano. Ou seja, movemo-lo ao longo da direção normal até atingir o plano, formando um ângulo de
com o plano. Precisamos de um vetor normal
ao plano e de uma fórmula que nos dê o ponto projetado.
Passo 3
Escolhendo um vetor normal e um ponto do plano:
Como a equação do plano é , o vetor normal ao plano é o versor na direção
:
Como a equação do plano é
Um ponto qualquer que pertence ao plano é, por exemplo,
A fórmula padrão (útil e geral) para a projeção ortogonal de um ponto
num plano que tem normal
e contém o ponto
é
onde
é o produto escalar (dot product) e
é o quadrado da norma de
.
Explicação dos termos:
Explicação dos termos:
-
é o vetor posição do ponto original. -
é um ponto qualquer do plano (usado apenas para formar o vetor ). -
mede quanto do vetor está na direção de . - Dividindo por
e multiplicando por obtemos o componente de na direção normal; subtraindo isso de removemos a componente normal, ficando com a projeção no plano.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Calculemos :
Calculemos
O produto escalar com
é
A norma ao quadrado de
é
Passo 5
Calculando o fator escalar e a projeção:
O fator escalar é
O fator escalar é
Multiplicando pelo vetor normal:
Subtraindo de
obtemos a projeção ortogonal
:
Interpretação simples: como o plano é horizontal (
), projetar ortogonalmente consiste em manter as coordenadas
e
e fazer
.
Passo 6
Exemplo adicional rápido para fixar: se tivéssemos
e o mesmo plano
, usando o mesmo procedimento a projeção seria
. Isso ajuda a memorizar: para planos horizontais, basta zerar a coordenada
.