20. Aplicação em Computação Gráfica - Projeção Ortogonal:

Em um software de modelagem 3D, um ponto de luz está localizado em P(5,7,8). Este ponto projeta uma sombra de um pequeno objeto localizado no ponto Q(3,4,2) sobre um plano que representa o chão, cuja equação é \pi: z=0. Para calcular a posição da sombra, é necessário encontrar a projeção ortogonal do ponto Q no plano. (Observação: este problema é uma simplificação, a sombra real estaria na interseção da reta PQ com o plano). Determine a projeção ortogonal do ponto Q sobre o plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
\;P=(5,7,8), \;Q=(3,4,2) e o plano chão \pi com equação \;z=0.
O que a questão pede: determinar a projeção ortogonal do ponto \;Q sobre o plano \pi.
Lista das informações relevantes:
\;Q=(3,4,2) (ponto a ser projetado),
\;\pi: z=0 (plano alvo da projeção).

Passo 2

Ideia geral da projeção ortogonal num plano: para projetar ortogonalmente um ponto num plano, subtraímos do ponto a componente na direção normal ao plano. Ou seja, movemo-lo ao longo da direção normal até atingir o plano, formando um ângulo de 90^\circ com o plano. Precisamos de um vetor normal \mathbf{n} ao plano e de uma fórmula que nos dê o ponto projetado.

Passo 3

Escolhendo um vetor normal e um ponto do plano:
Como a equação do plano é \;z=0, o vetor normal ao plano é o versor na direção z:
\mathbf{n}=(0,0,1).
Um ponto qualquer que pertence ao plano é, por exemplo,
R=(0,0,0).
A fórmula padrão (útil e geral) para a projeção ortogonal de um ponto Q num plano que tem normal \mathbf{n} e contém o ponto R é
Q' \;=\; Q \;-\; \frac{\langle Q-R,\mathbf{n}\rangle}{\|\mathbf{n}\|^{2}}\,\mathbf{n},
onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto escalar (dot product) e \|\mathbf{n}\|^{2} é o quadrado da norma de \mathbf{n}.
Explicação dos termos:
  • \;Q é o vetor posição do ponto original.
  • \;R é um ponto qualquer do plano (usado apenas para formar o vetor Q-R).
  • \;\langle Q-R,\mathbf{n}\rangle mede quanto do vetor Q-R está na direção de \mathbf{n}.
  • Dividindo por \|\mathbf{n}\|^{2} e multiplicando por \mathbf{n} obtemos o componente de Q-R na direção normal; subtraindo isso de Q removemos a componente normal, ficando com a projeção no plano.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Calculemos Q-R:
Q-R = (3,4,2)-(0,0,0) = (3,4,2).
O produto escalar com \mathbf{n}=(0,0,1) é
\langle Q-R,\mathbf{n}\rangle = (3,4,2)\cdot(0,0,1) = 2.
A norma ao quadrado de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\|^{2} = 0^{2}+0^{2}+1^{2} = 1.

Passo 5

Calculando o fator escalar e a projeção:
O fator escalar é
\frac{\langle Q-R,\mathbf{n}\rangle}{\|\mathbf{n}\|^{2}} = \frac{2}{1} = 2.
Multiplicando pelo vetor normal:
2\,\mathbf{n} = 2\cdot(0,0,1) = (0,0,2).
Subtraindo de Q obtemos a projeção ortogonal Q':
Q' = Q - 2\mathbf{n} = (3,4,2)-(0,0,2) = (3,4,0).
Interpretação simples: como o plano é horizontal ( z=0), projetar ortogonalmente consiste em manter as coordenadas x e y e fazer z=0.

Passo 6

Exemplo adicional rápido para fixar: se tivéssemos Q=(1,2,5) e o mesmo plano \pi: z=0, usando o mesmo procedimento a projeção seria (1,2,0). Isso ajuda a memorizar: para planos horizontais, basta zerar a coordenada z.

Resposta

(3,4,0)

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