19. Aplicação em Física - Trajetória de Partícula:

Uma partícula se move no espaço seguindo uma trajetória retilínea descrita pelas equações paramétricas: r:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\\ y=1+2 t \\\ z=3 t\end{array}\right., onde t é o tempo em segundos. Essa partícula irá colidir com uma parede plana cuja equação é \pi: x+2 y+z=15. Determine:
(a) O instante de tempo t em que a colisão ocorre.
(b) O ponto no espaço onde a colisão acontece.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória retilínea da partícula por meio de equações paramétricas e fornece a equação do plano onde está a parede. As perguntas são:
  • (a) Qual é o instante de tempo [t) em que a colisão com o plano ocorre?
  • (b) Qual é o ponto no espaço onde essa colisão acontece?
Informações fornecidas:
\text{Trajetória: }\begin{cases} x=2-t,\\[4pt] y=1+2t,\\[4pt] z=3t, \end{cases}ó
onde (t] é o tempo em segundos, e
\text{Plano: }\pi:\; x+2y+z=15.]

Passo 2

Entendimento geométrico e estratégia (sem calcular ainda): a colisão é o ponto de interseção entre a reta dada pelas parametrizações e o plano \pi. Para achar o instante t da colisão, vamos substituir as coordenadas paramétricas (x(t),y(t),z(t)) na equação do plano e resolver para t. Isso funciona porque um ponto da reta pertence ao plano se, ao substituir suas coordenadas na equação do plano, a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Escrevendo a reta em forma vetorial para ficar claro o que está acontecendo: um ponto da reta (quando t=0) é
P_0=(2,\,1,\,0),
e o vetor diretora da reta (coeficiente de t) é
\mathbf{v}=(-1,\,2,\,3),
porque
x=2+(-1)t,\quad y=1+2t,\quad z=0+3t.
Qualquer ponto da reta tem coordenadas (2-t,\,1+2t,\,3t). Agora vamos usar a equação do plano e substituir essas coordenadas.

Passo 4

Substituição na equação do plano \pi: x+2y+z=15. Substituindo x=2-t, y=1+2t, z=3t temos a equação em t:
(2-t)+2(1+2t)+3t=15.

Passo 5

Desenvolvendo a expressão passo a passo:
Primeiro calcule 2(1+2t):
2(1+2t)=2+4t.
Agora some os termos:
(2-t)+(2+4t)+3t = 2 - t + 2 + 4t + 3t.
Agrupando termos constantes e termos com t:
(2+2) + (-t+4t+3t) = 4 + 6t.
Logo a equação fica
4+6t=15.

Passo 6

Isolando t:
6t = 15-4 = 11,
portanto
t=\frac{11}{6}\\ \text{(segundos)}.
Pra ficar tranquilo: \frac{11}{6}\approx 1{,}8333\\ \text{s}.

Passo 7

Agora que temos t, vamos achar o ponto de colisão substituindo t=\frac{11}{6} nas parametrizações. Calculamos cada coordenada:
Para x:
x=2-t = 2 - \frac{11}{6} = \frac{12}{6}-\frac{11}{6} = \frac{1}{6}.
Para y:
y=1+2t = 1 + 2\cdot\frac{11}{6} = 1 + \frac{22}{6} = 1 + \frac{11}{3} = \frac{3}{3}+\frac{11}{3} = \frac{14}{3}.
Para z:
z=3t = 3\cdot\frac{11}{6} = \frac{33}{6} = \frac{11}{2}.
Portanto o ponto é \left(\frac{1}{6},\,\frac{14}{3},\,\frac{11}{2}\right).

Passo 8

Verificação (útil na prova para demonstrar cuidado): verificar se esse ponto satisfaz a equação do plano.
Calcule x+2y+z com as coordenadas obtidas:
\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{14}{3} + \frac{11}{2}.
Calcule separadamente:
2\cdot\frac{14}{3}=\frac{28}{3}.
Colocando tudo sobre um denominador comum (por exemplo 6):
\frac{1}{6} + \frac{56}{6} + \frac{33}{6} = \frac{1+56+33}{6} = \frac{90}{6} = 15.
Como devolve 15, o ponto realmente pertence ao plano — a verificação bate.

Resposta

t=\dfrac{11}{6}\\ \text{s}\n \left(\dfrac{1}{6},\dfrac{14}{3},\dfrac{11}{2}\right)

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