(
) Um bastão de cobre (
) muito longo, com 6 mm de diâmetro tem sua base mantida a
. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a
, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de
.
a) Qual a temperatura do bastão a uma distância de 100 mm da base ?
b) Qual o comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita?
a) Qual a temperatura do bastão a uma distância de 100 mm da base ?
b) Qual o comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita?
Passo 1
O enunciado dá um bastão cilíndrico muito longo de cobre com:
Perguntas:
a) Qual a temperatura do bastão a uma distância da base?
b) Qual o comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de bastão “infinito” seja razoável?
a) Qual a temperatura do bastão a uma distância
b) Qual o comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de bastão “infinito” seja razoável?
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial (aula rápida e intuitiva). Estamos em regime permanente (estado estacionário): a temperatura varia ao longo do eixo
do bastão, e a perda de calor ocorre pela convecção na superfície lateral. Por ser um bastão fino e de alta condutividade, desprezamos gradientes radiais e tratamos como problema unidimensional ao longo de
.
Faça um balanço de energia para um elemento de comprimento
:
- condução que entra em
, - condução que sai em
, - perda por convecção na superfície lateral do elemento.
Isso leva à equação diferencial clássica para um corpo com área transversal constante e perda lateral proporcional à diferença de temperatura:
onde
é um parâmetro que reúne as propriedades geométricas e térmicas. Agora eu te ensino como obter
.
Passo 3
Cálculo de
. Por definição geral,
onde
é o perímetro da seção transversal e
a área dessa seção. Para um cilindro de diâmetro
:
Substituindo:
Agora numericamente:
portanto
Passo 4
Solução da equação diferencial (passo-a-passo). A equação
pode ser escrita para a função
como
A solução geral é
Como o bastão é muito longo e queremos a condição de “semi-infinito” para a direita, a temperatura tem que permanecer finita quando
. O termo
diverge, então devemos ter
. Assim
Aplicando a condição na base
:
implica
. Logo a solução que usaremos é
Isso é intuitivo: a diferença de temperatura em relação ao ambiente decai exponencialmente com a distância.
Passo 5
Cálculo da temperatura em
(parte a). Primeiro calcule a diferença inicial
Agora avalie o exponencial:
Multiplicando:
Somando com
:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
Passo 6
O que significa “comprimento mínimo para hipótese de infinito” e escolha de um critério. A hipótese de bastão infinito significa que, na prática, a região considerada é suficientemente longa para que a temperatura se aproxime muito de
antes do fim do bastão. Da solução temos
Podemos escolher um critério de aproximação: tomar
, onde
é a fração máxima tolerável da diferença inicial que ainda aceitamos no final. Uma escolha comum e conservadora é
(ou seja, 1% da diferença inicial) — isso deixa o final praticamente na temperatura ambiente para fins práticos. Se preferires um critério menos rigoroso,
(5%) também é usado; isso corresponderia a
.
Eu vou usar
(1%), explicando o cálculo. Assim
Com
:
Também comentei a regra de bolso: se escolheres
(aprox. 1,8% remanescente) teríamos
. Mas o critério de 1% é um pouco mais conservador; vou reportar esse valor.
Passo 7
Resumo final e incentivo. Fechando: a solução é simples quando a gente monta a equação correta e entende o papel do parâmetro
. Não se assuste com exponenciais — elas só dizem o quão rápido a temperatura decai ao longo do bastão. Você já fez a parte mais importante: modelar, resolver e aplicar as condições de contorno. Vai dar certo na prova — respira, revisa estes passos e pratica mais um ou dois exercícios parecidos!
Resposta
a)
b) Comprimento mínimo (critério 1%): (aprox.
).
b) Comprimento mínimo (critério 1%):