( 20 \% ) Um bastão de cobre ( \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) muito longo, com 6 mm de diâmetro tem sua base mantida a 120^{\circ} \mathrm{C}. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}.
a) Qual a temperatura do bastão a uma distância de 100 mm da base ?
b) Qual o comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de comprimento infinito seja satisfeita?

Passo 1

O enunciado dá um bastão cilíndrico muito longo de cobre com:
\begin{aligned} &\text{condutividade térmica: } k=400\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\text{diâmetro: } d=6\\ \mathrm{mm}=0,006\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura da base (em }x=0\text{): } T_b=120^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{ar ambiente: } T_\infty=25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{coeficiente convectivo (superfície lateral): } h=120\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. \end{aligned}éâí
Perguntas:
a) Qual a temperatura do bastão a uma distância 100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m} da base?
b) Qual o comprimento mínimo do bastão para que a hipótese de bastão “infinito” seja razoável?

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial (aula rápida e intuitiva). Estamos em regime permanente (estado estacionário): a temperatura varia ao longo do eixo x do bastão, e a perda de calor ocorre pela convecção na superfície lateral. Por ser um bastão fino e de alta condutividade, desprezamos gradientes radiais e tratamos como problema unidimensional ao longo de x.
Faça um balanço de energia para um elemento de comprimento dx:
  • condução que entra em x,
  • condução que sai em x+dx,
  • perda por convecção na superfície lateral do elemento.
Isso leva à equação diferencial clássica para um corpo com área transversal constante e perda lateral proporcional à diferença de temperatura:
\frac{d^2 T}{dx^2} - m^2\bigl(T - T_\infty\bigr)=0,
onde m é um parâmetro que reúne as propriedades geométricas e térmicas. Agora eu te ensino como obter m.

Passo 3

Cálculo de m. Por definição geral,
m^2=\frac{hP}{kA_c},
onde P é o perímetro da seção transversal e A_c a área dessa seção. Para um cilindro de diâmetro d:
P=\pi d,\qquad A_c=\frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo:
m^2=\frac{h(\pi d)}{k(\pi d^2/4)}=\frac{4h}{kd}.
Agora numericamente:
m^2=\frac{4\cdot 120}{400\cdot 0,006}=\frac{480}{2{,}4}=200,
portanto
m=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14{,}1421356\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Solução da equação diferencial (passo-a-passo). A equação
\frac{d^2 T}{dx^2}-m^2(T-T_\infty)=0
pode ser escrita para a função \theta(x)=T(x)-T_\infty como
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0.
A solução geral é
\theta(x)=C_1 e^{m x}+C_2 e^{-m x}.
Como o bastão é muito longo e queremos a condição de “semi-infinito” para a direita, a temperatura tem que permanecer finita quando x\to\infty. O termo e^{m x} diverge, então devemos ter C_1=0. Assim
\theta(x)=C_2 e^{-m x}.
Aplicando a condição na base x=0: T(0)=T_b implica \theta(0)=T_b-T_\infty=C_2. Logo a solução que usaremos é
T(x)=T_\infty + (T_b-T_\infty)e^{-m x}.
Isso é intuitivo: a diferença de temperatura em relação ao ambiente decai exponencialmente com a distância.

Passo 5

Cálculo da temperatura em x=0{,}100\\ \mathrm{m} (parte a). Primeiro calcule a diferença inicial
T_b-T_\infty=120-25=95\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora avalie o exponencial:
e^{-m x}=e^{-14{,}1421356\cdot 0{,}100}=e^{-1{,}41421356}\approx 0{,}2431167.
Multiplicando:
(T_b-T_\infty)e^{-m x}=95\cdot 0{,}2431167\approx 23{,}0951\\ ^\circ\mathrm{C}.
Somando com T_\infty:
T(0{,}100)=25 + 23{,}0951 \approx 48{,}0951\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: T(0{,}100)\approx 48{,}10^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

O que significa “comprimento mínimo para hipótese de infinito” e escolha de um critério. A hipótese de bastão infinito significa que, na prática, a região considerada é suficientemente longa para que a temperatura se aproxime muito de T_\infty antes do fim do bastão. Da solução temos
\frac{T(L)-T_\infty}{T_b-T_\infty}=e^{-mL}.
Podemos escolher um critério de aproximação: tomar e^{-mL}\le \varepsilon, onde \varepsilon é a fração máxima tolerável da diferença inicial que ainda aceitamos no final. Uma escolha comum e conservadora é \varepsilon=0{,}01 (ou seja, 1% da diferença inicial) — isso deixa o final praticamente na temperatura ambiente para fins práticos. Se preferires um critério menos rigoroso, e^{-mL}\le 0{,}05 (5%) também é usado; isso corresponderia a mL\ge 3.
Eu vou usar \varepsilon=0{,}01 (1%), explicando o cálculo. Assim
e^{-mL}\le 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad L\ge \frac{-\ln(0{,}01)}{m}=\frac{4{,}605170}{m}.
Com m\approx 14{,}1421356\\ \mathrm{m^{-1}}:
L\ge \frac{4{,}605170}{14{,}1421356}\approx 0{,}3257\\ \mathrm{m}=325{,}7\\ \mathrm{mm}.
Também comentei a regra de bolso: se escolheres mL=4 (aprox. 1,8% remanescente) teríamos L=4/m\approx 0{,}2828\\ \mathrm{m}. Mas o critério de 1% é um pouco mais conservador; vou reportar esse valor.

Passo 7

Resumo final e incentivo. Fechando: a solução é simples quando a gente monta a equação correta e entende o papel do parâmetro m. Não se assuste com exponenciais — elas só dizem o quão rápido a temperatura decai ao longo do bastão. Você já fez a parte mais importante: modelar, resolver e aplicar as condições de contorno. Vai dar certo na prova — respira, revisa estes passos e pratica mais um ou dois exercícios parecidos!

Resposta

a) T(0{,}100)\approx 48{,}10^\circ\mathrm{C}
b) Comprimento mínimo (critério 1%): L\approx 0{,}326\\ \mathrm{m} (aprox. 326\\ \mathrm{mm}).

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