Questão (vale 0,5 pontos)
Uma tubulação que transporta vapor superaquecido em um porão a 10^{\circ} \mathrm{C}, tem uma temperatura superficial de 150^{\circ} \mathrm{C}. A perda de calor da tubulação ocorre por radiação (\epsilon=0,6) e convecção natural ( \bar{h}_{c}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} ). Determine a porcentagem de perda de calor total através dos dois mecanismos.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação com superfície a \,150^\circ\mathrm{C}\, e o ar do porão a \,10^\circ\mathrm{C}\,. A perda de calor ocorre por radiação com emissividade \epsilon=0,6 e por convecção natural com coeficiente médio \bar{h}_{c}=25\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.\n
O que pede: determinar a porcentagem da perda de calor total atribuída a cada mecanismo (radiação e convecção).\n
Dados relevantes listados:
T_s = 150^\circ\mathrm{C},\qquad T_\infty = 10^\circ\mathrm{C},
\epsilon = 0{,}6,\qquad \bar{h}_c = 25\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K},
constante de Stefan–Boltzmann \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}^4.\n
(A partir daqui resolvemos passo a passo.)

Passo 2

Primeiro convertemos temperaturas para Kelvin (radiação usa temperaturas absolutas):\n
T_s = 150^\circ\mathrm{C} = 150 + 273{,}15 = 423{,}15\\ \mathrm{K},
T_\infty = 10^\circ\mathrm{C} = 10 + 273{,}15 = 283{,}15\\ \mathrm{K}.
Explicação curta: a escala Kelvin desloca a escala Celsius em 273{,}15 unidades; para potências de temperatura (como T^4) é obrigatório usar Kelvin.

Passo 3

Calcule a perda por convecção por unidade de área. Fórmula (Lei de Newton do resfriamento):
q_{\text{conv}} = \bar{h}_c\,(T_s - T_\infty),
onde \bar{h}_c é o coeficiente convectivo (W/m²K), T_s e T_\infty estão em K (ou °C, desde que seja diferença). Substituindo:
q_{\text{conv}} = 25\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}\times(150-10)\\ \mathrm{K} = 25\times140 = 3500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Comentário didático: a convecção depende da diferença de temperatura linearmente e do coeficiente \bar{h}_c que já incorpora características do escoamento natural.

Passo 4

Calcule a perda por radiação por unidade de área. Fórmula (Lei de Stefan–Boltzmann para troca com ambiente grande):
q_{\text{rad}} = \epsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_\infty^4),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T em Kelvin. Vamos computar T_s^4-T_\infty^4 de forma numérica segura usando T^4 = (T^2)^2.\n
Calcule primeiro T_s^2 e T_\infty^2:
T_s^2 = 423{,}15^2 = 179055{,}9225\\ \mathrm{K}^2,
T_\infty^2 = 283{,}15^2 = 80173{,}9225\\ \mathrm{K}^2.
Então
T_s^4 - T_\infty^4 = (T_s^2 - T_\infty^2)(T_s^2 + T_\infty^2).
Substituindo os valores:
T_s^2 - T_\infty^2 = 179055{,}9225 - 80173{,}9225 = 98882{,}0,
T_s^2 + T_\infty^2 = 179055{,}9225 + 80173{,}9225 = 259229{,}845,
T_s^4 - T_\infty^4 = 98882{,}0 \times 259229{,}845 \approx 2{,}563316553\times10^{10}\\ \mathrm{K}^4.
Agora a radiação:
q_{\text{rad}} = 0{,}6 \times 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}563316553\times10^{10}.
Multiplicando:
\sigma\,(T_s^4-T_\infty^4)\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\times 2{,}563316553\times10^{10}\approx 1453{,}50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,
q_{\text{rad}} = 0{,}6\times 1453{,}50 \approx 872{,}10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Explicação didática: radiação cresce com a quarta potência da temperatura absoluta; aqui, apesar de T_s ser bem maior que T_\infty, a convecção ainda pode ser dominante dependendo de \bar{h}_c.

Passo 5

Calcule o fluxo total e as porcentagens. Fluxo total por unidade de área:
q_{\text{total}} = q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}} = 3500 + 872{,}10 = 4372{,}10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Porcentagem pela radiação:
\%\_{\text{rad}} = \frac{q_{\text{rad}}}{q_{\text{total}}}\times 100\% = \frac{872{,}10}{4372{,}10}\times100\%\approx 19{,}95\%\approx 20{,}0\%.
Porcentagem pela convecção:
\%\_{\text{conv}} = \frac{q_{\text{conv}}}{q_{\text{total}}}\times 100\% = \frac{3500}{4372{,}10}\times100\%\approx 80{,}05\%\approx 80{,}0\%.
Comentário final: portanto, aproximadamente 20\% da perda de calor é por radiação e 80\% por convecção natural — convective domina neste caso porque \bar{h}_c e a grande diferença de temperatura linear geram um fluxo convectivo maior.

Resposta

\%\_{\text{rad}} \approx 20{,}0\%\n
\%\_{\text{conv}} \approx 80{,}0\%

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