( 40 \% ) Vapor a 320^{\circ} \mathrm{C} escoa em um tubo de aço inoxidável ( \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) cujos diâmetros interno e externo são 5 cm e 5,5 \mathrm{~cm}, respectivamente. O tubo é coberto com isolante de lã de vidro ( \mathrm{k}=0,038 \mathrm{W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 3 cm de espessura. Calor é perdido para o ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C} por convecção natural, com um coeficiente de transferência de calor por convecção \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Considerando o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do tubo de vapor igual a 120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, determinar a taxa de perda de calor por unidade de comprimento do tubo.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de perda de calor por unidade de comprimento do tubo (isto é, \dot{Q}' em \mathrm{W/m}). Dados fornecidos (pego diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Temperatura do vapor (interno)} && T_i = 320^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Temperatura ambiente (externo)} && T_\infty = 25^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Diâmetro interno do tubo} && D_i = 5{,}0\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Diâmetro externo do tubo (aço)} && D_{o,s} = 5{,}5\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Espessura do isolamento} && t_{ins} = 3{,}0\\ \mathrm{cm} \\\ &\text{Condutividade do aço} && k_{s} = 15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \\\ &\text{Condutividade da lã de vidro} && k_{ins} = 0{,}038\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \\\ &\text{Convecção interna} && h_i = 120\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} \\\ &\text{Convecção externa (ambiente)} && h_o = 10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} \end{aligned}ââççãçãçã
O objetivo é encontrar \dot{Q}' (perda de calor por comprimento unitário). Vou trabalhar por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Método: modelos de resistência térmica em série para geometria cilíndrica. Explico as fórmulas que vou usar (e o que cada símbolo significa):
  • Resistência por convecção num cilindro (por unidade de comprimento):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot A}=\frac{1}{h\cdot 2\pi r}
onde h é coeficiente convectivo ( \mathrm{W/(m^2K)}), r é o raio do cilindro (m) e a área lateral por unidade de comprimento é 2\pi r.
  • Resistência por condução radial num casqueto cilíndrico (por unidade de comprimento):
R_{\text{cond}}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k}
onde k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(mK)}), r_1 e r_2 são raios interno e externo do casquete (m). Essa fórmula vem da solução da equação de condução radial estacionária em coordenadas cilíndricas.
A resistência térmica total por unidade de comprimento é a soma das resistências em série:
R_{\text{tot}}=R_{conv,i}+R_{cond,steel}+R_{cond,ins}+R_{conv,o}
e a taxa de calor por unidade de comprimento é
\dot{Q}'=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.

Passo 3

Calcular raios usando os dados (pego do enunciado):
\begin{aligned} & r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{5{,}0\\ \mathrm{cm}}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m},\\\ & r_{o,s}=\frac{D_{o,s}}{2}=\frac{5{,}5\\ \mathrm{cm}}{2}=0{,}0275\\ \mathrm{m},\\\ & r_{o,ins}=r_{o,s}+t_{ins}=0{,}0275+0{,}03=0{,}0575\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i-T_\infty = 320-25 = 295\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a resistência por convecção no interior (usar r_i e h_i):
R_{conv,i}=\frac{1}{h_i\cdot 2\pi r_i} =\frac{1}{120\cdot 2\pi\cdot 0{,}025}.
Agora avalio numericamente:
R_{conv,i}=\frac{1}{120\cdot 2\pi\cdot 0{,}025}\approx 0{,}05305\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 5

Calcular a resistência por condução através da parede de aço (entre r_i e r_{o,s}):
R_{cond,steel}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,s}}{r_i}\right)}{2\pi k_s} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0275}{0{,}025}\right)}{2\pi\cdot 15}.
Avaliação numérica:
\ln\!\left(\frac{0{,}0275}{0{,}025}\right)=\ln(1{,}1)\approx 0{,}09531018,
portanto
R_{cond,steel}\approx\frac{0{,}09531018}{2\pi\cdot 15}\approx 0{,}00101\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 6

Calcular a resistência por condução através do isolamento (entre r_{o,s} e r_{o,ins}):
R_{cond,ins}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,ins}}{r_{o,s}}\right)}{2\pi k_{ins}} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}0575}{0{,}0275}\right)}{2\pi\cdot 0{,}038}.
Avaliação:
\ln\!\left(\frac{0{,}0575}{0{,}0275}\right)=\ln(2{,}090909\ldots)\approx 0{,}737198,
portanto
R_{cond,ins}\approx\frac{0{,}737198}{2\pi\cdot 0{,}038}\approx 3{,}0874\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 7

Calcular a resistência por convecção externa (usa r_{o,ins} e h_o):
R_{conv,o}=\frac{1}{h_o\cdot 2\pi r_{o,ins}} =\frac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0{,}0575}.
Avaliação numérica:
R_{conv,o}\approx\frac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0{,}0575}\approx 0{,}2766\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 8

Somar todas as resistências para obter R_{\text{tot}}:
\begin{aligned} R_{\text{tot}}&=R_{conv,i}+R_{cond,steel}+R_{cond,ins}+R_{conv,o}\\\ &\approx 0{,}05305 + 0{,}00101 + 3{,}0874 + 0{,}2766\\\ &\approx 3{,}4181\\ \mathrm{K\cdot m/W}. \end{aligned}

Passo 9

Calcular a taxa de perda de calor por unidade de comprimento:
\dot{Q}'=\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}=\frac{295}{3{,}4181}\\ \mathrm{W/m}.
Avaliação numérica:
\dot{Q}'\approx 86{,}3\\ \mathrm{W/m}.

Passo 10

Observação didática rápida (útil para prova): a resistência do isolamento ( R_{cond,ins}) domina o circuito térmico (≈3,09 de 3,42 K·m/W), enquanto a parede de aço tem resistência desprezível. Isso significa que, para reduzir perda de calor, aumentar a espessura do isolamento ou usar material com menor k é a estratégia eficaz.

Resposta

86{,}3\\ \mathrm{W/m}

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