20^{\circ} ) Determine a derivada direcional de f(x, y)=\sqrt{x y} em P(1,2) na direção de Q(5,4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\sqrt{x\,y}
no ponto P=(1,2) na direção do ponto Q=(5,4).
Para resolver isso, vamos usar que a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário u vale
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=(x\,y)^{1/2}, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac12\,(x\,y)^{-1/2}\,y =\frac{y}{2\sqrt{x\,y}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac12\,(x\,y)^{-1/2}\,x =\frac{x}{2\sqrt{x\,y}}.
No ponto P=(1,2) isso dá \sqrt{1\cdot2}=\sqrt{2}, \frac{\partial f}{\partial x}(1,2) =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) =\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Logo
\nabla f(1,2) =\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 3

Agora obtemos o vetor direção de P para Q:
v=Q-P=(5-1,\,4-2)=(4,2).
O comprimento de v é
\|v\|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Assim o vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|} =\Bigl(\frac{4}{2\sqrt5},\,\frac{2}{2\sqrt5}\Bigr) =\Bigl(\frac{2}{\sqrt5},\,\frac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar
D_{u}f(1,2) =\nabla f(1,2)\cdot u =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} +\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}.
Colocando termo em evidência,
D_{u}f(1,2) =\frac{2}{\sqrt{2}\,\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{2}\,\sqrt{5}} =\frac{5}{2\sqrt{2}\,\sqrt{5}} =\frac{5}{2\sqrt{10}} =\frac{\sqrt{10}}{4}.

Resposta

D_{u}f(1,2)=\frac{\sqrt{10}}{4}.

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