2.20 Considere uma parede plana de espessura L. A fronteira em \boldsymbol{x}=\mathbf{0} está submetida a convecção forçada para um ambiente à temperatura \boldsymbol{T}_{\infty} com um coeficiente de transferência de calor \boldsymbol{h}. A fronteira em \boldsymbol{x}=L está aquecida pelo fluxo de radiação solar a uma razão de \boldsymbol{a}_{\mathbf{n}} \mathbf{W} / \mathbf{m}^{2}. Escreva as condicões de contorno.

Passo 1

O enunciado dá uma parede plana de espessura L com as duas fronteiras descritas e pede que sejam escritas as condições de contorno. Informações relevantes:
  • Geometria unidimensional na direção x, com 0\le x\le L.
  • Fronteira em x=0: superfície sujeita a convecção forçada para um ambiente à temperatura \,T_{\infty}\, com coeficiente de transferência de calor \,h.
  • Fronteira em x=L: superfície recebendo fluxo de radiação solar com taxa \,a_{n}\\ \text{W}/\text{m}^{2}.
  • A incógnita é a temperatura dentro da parede \,T(x,t)\, (pode ser função do tempo se o problema for transiente).
  • Propriedade necessária para escrever as condições: condutividade térmica do material \,k (assumida conhecida).
O que se pede: escrever as condições de contorno na forma matemática correta, explicando os sinais e significado físico dos termos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Lei de Fourier (fluxo condutivo unidimensional): q_x(x,t) = -k\,\frac{\partial T}{\partial x}(x,t).
Aqui q_x é o fluxo de calor por unidade de área na direção positiva x (W/m²). O sinal menos indica que o calor flui no sentido de decrescimento de temperatura.
  • Condição de convecção na superfície (fluxo convectivo): q_{\text{conv}} = h\bigl(T_{\text{surf}}-T_{\infty}\bigr).
Aqui T_{\text{surf}} é a temperatura da superfície, h é o coeficiente convectivo e T_{\infty} a temperatura do fluido. O sinal é tal que, se T_{\text{surf}}>T_{\infty}, o fluxo convectivo é positivo no sentido “saindo” do sólido para o fluido.
  • Condição de fluxo imposto (Neumann): quando a superfície recebe um fluxo externo conhecido por unidade de área (por exemplo radiação), denota-se esse fluxo por q'' (W/m²) e ele entra no sólido se for positivo no sentido da normal apontando para dentro do sólido. A continuidade de fluxo na superfície impõe igualdade entre o fluxo condutivo dado por Fourier e o fluxo externo.
Vou usar a convenção prática a seguir: a_n é o fluxo radiativo incidente sobre a face x=L, positivo quando entra no sólido (isto é, dirigido para x<L).

Passo 3

Condição de contorno em x=0 (convecção).
  • No ponto x=0 o fluxo condutivo que atravessa a superfície (no sentido +x) é -k\left.\dfrac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}.
  • Esse fluxo condutivo na superfície deve igualar o fluxo convectivo para o ambiente, que vale h\bigl(T(0,t)-T_{\infty}\bigr).
  • Igualando os dois (continuidade de fluxo) obtemos a condição mista (Robin): -\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} \;=\; h\bigl(T(0,t)-T_{\infty}\bigr).
Explicação do sinal: se T(0,t)>T_{\infty} então o lado direito é positivo, o que significa que o fluxo condutivo em +x também é positivo — isto corresponde ao calor saindo do sólido em direção ao fluido.

Passo 4

Condição de contorno em x=L (fluxo radiativo incidente).
  • Denotando por a_n o fluxo radiativo incidente sobre a face x=L, positivo quando entra no sólido, a condição de conservação de energia na superfície exige que o fluxo condutivo fornecido pela parede seja igual a esse fluxo incidente.
  • O fluxo condutivo na face, por Fourier, é -k\left.\dfrac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}. Igualando ao fluxo radiativo incidente a_n (positivo para entrada no sólido) obtemos a condição de Neumann: -\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L} \;=\; a_{n}.
Comentário sobre sinais: com esta escolha, a_n>0 significa aquecimento da superfície (entrada de calor para o interior da parede). Se alguém preferir escrever isoladamente a derivada, pode reorganizar para \displaystyle k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L}=-a_n, mas a forma -k\partial T/\partial x = a_n é a forma usual quando a_n é definido como fluxo entrando no sólido.

Passo 5

Resumo físico: em x=0 tem-se uma condição mista que relaciona o gradiente térmico à diferença entre a temperatura da superfície e a temperatura ambiente; em x=L tem-se uma condição de fluxo prescrito igual à irradiância solar incidente.

Resposta

-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} \;=\; h\bigl(T(0,t)-T_{\infty}\bigr)
-\,k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=L} \;=\; a_{n}

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