2.5 Por simplificação da equação tridimensional da condução de calor no sistema de coordenadas cartesianas, obtenha a equação estacionária de condução do calor em coordenadas cartesianas nas variáveis x e y.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter a equação estacionária de condução de calor em coordenadas cartesianas nas variáveis x e y a partir da equação tridimensional geral por simplificações.
Informações e hipóteses que vamos considerar (essas são as simplificações típicas implicadas pelo enunciado):
  • Começamos da equação geral de condução de calor no espaço tri‑dimensional (variáveis x,y,z e tempo t).
  • As grandezas envolvidas: densidade \rho, calor específico c, condutividade térmica k, temperatura T(x,y,z,t) e geração volumétrica de calor \dot{q}(x,y,z,t) (em \mathrm{W/m^3}).
  • As simplificações pedidas para chegar à equação em x e y e estacionária são, normalmente:
    1. estado estacionário (não há variação temporal de temperatura);
    2. ausência de variação na direção z (camada fina ou problema essencialmente bidimensional);
    3. consideraremos também o caso usual de condutividade térmica k constante para simplificar a forma diferencial.

Passo 2

Escrevendo a equação geral de condução de calor (forma conservativa / divergente) em coordenadas cartesianas — esta é a equação de energia para condução com termo de geração:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot{q}.
Explicando cada termo (para fixar):
  • \rho c\,\dfrac{\partial T}{\partial t}: termo de armazenamento de energia (variação temporal de temperatura multiplicada pela capacidade térmica por volume).
  • Cada \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\dfrac{\partial T}{\partial x}\right) representa o fluxo de calor por condução na direção x (lei de Fourier em forma divergente).
  • \dot{q} é geração volumétrica de calor (p.ex. reação interna, aquecimento elétrico).

Passo 3

Aplicando a primeira simplificação: estado estacionário.
  • Em regime estacionário a temperatura não depende do tempo, logo
\frac{\partial T}{\partial t}=0.
  • Substituindo na equação geral obtemos
0 = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot{q}.

Passo 4

Aplicando a segunda simplificação: independência em z.
  • Se não há variação na direção z, então \dfrac{\partial T}{\partial z}=0 e consequentemente \dfrac{\partial}{\partial z}\!\left(k\,\dfrac{\partial T}{\partial z}\right)=0.
  • Assim a equação reduz-se a
0 = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \dot{q}.

Passo 5

Assumindo condutividade k constante (hipótese comum para simplificar):
  • Quando k é constante, podemos tirar k das derivações:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial y}\right) = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
  • Substituindo na equação anterior:
0 = k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right) + \dot{q}.

Passo 6

Escrevendo na forma padrão (dividindo por k quando k\neq0):
  • A equação estacionária de condução em 2‑D (variáveis x,y) com geração volumétrica é a equação de Poisson térmica:
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -\,\frac{\dot{q}}{k}.
  • Caso não haja geração interna ( \dot{q}=0), a equação fica a famosa equação de Laplace:
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0.

Passo 7

Observações práticas e como usar isso na prova (dicas úteis):
  • A equação obtida é um PDE linear de segunda ordem; para determinar T(x,y) é necessário fornecer condições de contorno (temperatura prescrita ou fluxo prescrito nas fronteiras).
  • Se k não for constante, não se pode puxar k para fora das derivadas; então a forma inicial com \dfrac{\partial}{\partial x}(k\,\partial T/\partial x) deve ser mantida.
  • Exemplo concreto rápido para fixar: uma placa fina e longa com geração uniforme \dot{q}= constante e condutividade k constante terá a equação
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=-\frac{\dot{q}}{k},
que é a equação que se resolve com as condições de contorno apropriadas.

Resposta

k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)+\dot{q}=0
\text{equivalente a}\quad \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=-\frac{\dot{q}}{k}
\text{caso } \dot{q}=0:\quad \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0

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