2.5 Por simplificação da equação tridimensional da condução de calor no sistema de coordenadas cartesianas, obtenha a equação estacionária de condução do calor em coordenadas cartesianas nas variáveis
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Obter a equação estacionária de condução de calor em coordenadas cartesianas nas variáveis
e a partir da equação tridimensional geral por simplificações.
Informações e hipóteses que vamos considerar (essas são as simplificações típicas implicadas pelo enunciado):
- Começamos da equação geral de condução de calor no espaço tri‑dimensional (variáveis
e tempo ). - As grandezas envolvidas: densidade
, calor específico , condutividade térmica , temperatura e geração volumétrica de calor (em ). - As simplificações pedidas para chegar à equação em
e e estacionária são, normalmente: - estado estacionário (não há variação temporal de temperatura);
- ausência de variação na direção
(camada fina ou problema essencialmente bidimensional); - consideraremos também o caso usual de condutividade térmica
constante para simplificar a forma diferencial.
Passo 2
Escrevendo a equação geral de condução de calor (forma conservativa / divergente) em coordenadas cartesianas — esta é a equação de energia para condução com termo de geração:
Explicando cada termo (para fixar):
-
: termo de armazenamento de energia (variação temporal de temperatura multiplicada pela capacidade térmica por volume). - Cada
representa o fluxo de calor por condução na direção (lei de Fourier em forma divergente). -
é geração volumétrica de calor (p.ex. reação interna, aquecimento elétrico).
Passo 3
Aplicando a primeira simplificação: estado estacionário.
- Em regime estacionário a temperatura não depende do tempo, logo
- Substituindo na equação geral obtemos
Passo 4
Aplicando a segunda simplificação: independência em
.
- Se não há variação na direção
, então e consequentemente . - Assim a equação reduz-se a
Passo 5
Assumindo condutividade
constante (hipótese comum para simplificar):
- Quando
é constante, podemos tirar das derivações:
- Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Escrevendo na forma padrão (dividindo por
quando
):
- A equação estacionária de condução em 2‑D (variáveis
) com geração volumétrica é a equação de Poisson térmica:
- Caso não haja geração interna (
), a equação fica a famosa equação de Laplace:
Passo 7
Observações práticas e como usar isso na prova (dicas úteis):
- A equação obtida é um PDE linear de segunda ordem; para determinar
é necessário fornecer condições de contorno (temperatura prescrita ou fluxo prescrito nas fronteiras). - Se
não for constante, não se pode puxar para fora das derivadas; então a forma inicial com deve ser mantida. - Exemplo concreto rápido para fixar: uma placa fina e longa com geração uniforme
constante e condutividade constante terá a equação
que é a equação que se resolve com as condições de contorno apropriadas.