2.1 Deduza a equação da condução de calor, dependente do tempo, com geração de energia interna e condutividade térmica variável, no sistema de coordenadas cartesianas com a variável x, a partir do balanço de energia num elemento diferencial de volume.

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza a equação da condução de calor, dependente do tempo, com geração de energia interna e condutividade térmica variável, no sistema de coordenadas cartesianas com a variável x, a partir do balanço de energia em um elemento diferencial de volume.
Informações e quantidades que o enunciado fornece / que vou usar:
  • Temperatura incógnita: T=T(x,t).
  • Coordenada espacial: x (problema unidimensional).
  • Tempo: t.
  • Condutividade térmica variável: k=k(x,T) (vou admitir que pode depender de x e/ou de T; a forma final vale em qualquer caso, espontaneamente).
  • Geração volumétrica de energia (taxa volumétrica de calor): \dot{q}=\dot{q}(x,t) em \mathrm{W\,m^{-3}}.
  • Densidade de massa: \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Calor específico por unidade de massa: c em \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
  • Vou aplicar o balanço de energia (energia acumulada = energia que entra por condução + geração interna) num elemento diferencial de volume.
Nada mais será assumido. A partir daí vou construir o balanço e obter a equação diferencial parcial que relaciona T(x,t), k, \dot{q}, \rho e c.

Passo 2

Definir o elemento diferencial e convenções de sinais.
  • Escolho um elemento prismático de área de seção transversal A (perpendicular ao eixo x) e espessura \mathrm{d}x. O volume do elemento é A\,\mathrm{d}x.
  • Convenção de sinais: a taxa de calor por unidade de área (fluxo de calor) na direção x é denotada por q_x e tem unidades \mathrm{W\,m^{-2}}. Fluxo positivo em direção crescente de x.
  • Pelo enunciado a condutividade térmica é variável, então é função k(x,T). A lei de Fourier local, que relaciona fluxo e gradiente de temperatura, é
q_x(x,t) = -\,k(x,T)\,\frac{\partial T}{\partial x}.
Explicando: a lei de Fourier diz que o fluxo de calor vai do ponto mais quente para o mais frio; o sinal negativo garante isso. Aqui k mede “facilidade” de condução; unidades de k são \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 3

Expressar as contribuições por condução nas faces do elemento diferencial.
  • Fluxo entrando pela face esquerda (em x) por unidade de área: q_x(x,t). Potência entrando pela face esquerda: q_x(x,t)\,A.
  • Fluxo saindo pela face direita (em x+\mathrm{d}x) por unidade de área: q_x(x+\mathrm{d}x,t). Potência saindo pela face direita: q_x(x+\mathrm{d}x,t)\,A.
  • A variação espacial do fluxo pode ser aproximada por expansão de Taylor:
q_x(x+\mathrm{d}x,t) = q_x(x,t) + \frac{\partial q_x}{\partial x}\,\mathrm{d}x + o(\mathrm{d}x).
  • Portanto, a potência líquida por condução que entra no volume (entrada menos saída) é
q_x(x,t)\,A - q_x(x+\mathrm{d}x,t)\,A = -\frac{\partial q_x}{\partial x}\,A\,\mathrm{d}x + o(\mathrm{d}x).
  • Como vamos trabalhar no limite \mathrm{d}x\to0, desprezamos o(\mathrm{d}x). Logo a contribuição por condução é
-\frac{\partial q_x}{\partial x}\,A\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Substituir a lei de Fourier no termo de condução para tornar o balanço em termos de T e k.
  • Usando q_x = -k\,\dfrac{\partial T}{\partial x} obtemos
-\frac{\partial q_x}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}\left(-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right).
  • Portanto, a potência líquida por condução que entra no elemento vale
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right)\!A\,\mathrm{d}x.
Observação didática: quando k varia com x (ou com T), a divergência do fluxo não é simplesmente k\,\partial^2 T/\partial x^2; aparece também um termo com \partial k/\partial x quando expandimos. Mas escrever na forma de divergência \partial_x(k\partial_x T) é mais compacto e fisicamente correto para condutividade variável.

Passo 5

Escrever a contribuição da geração interna.
  • Se há geração volumétrica de energia \dot{q}=\dot{q}(x,t) (unidade \mathrm{W\,m^{-3}}), a potência gerada dentro do volume A\,\mathrm{d}x é
\dot{q}\,A\,\mathrm{d}x.

Passo 6

Escrever a contribuição de acumulação de energia interna (lado esquerdo do balanço).
  • A energia interna por unidade de massa associada ao aquecimento é caracterizada pelo calor específico c. A massa do elemento é \rho\,A\,\mathrm{d}x.
  • A taxa de aumento de energia interna (potência de acumulação) é massa × c × taxa de variação da temperatura:
\text{acumulação} \;=\; \rho\,c\,A\,\mathrm{d}x\;\frac{\partial T}{\partial t}.çã
Explicando: \rho\,A\,\mathrm{d}x é a massa, multiplicando por c dá a capacidade térmica do elemento; multiplicando por \partial T/\partial t dá a taxa de variação de energia por unidade de tempo.

Passo 7

Montar o balanço de energia e simplificar.
  • Balanço (energia acumulada = condução líquida entrando + geração interna):
\rho\,c\,A\,\mathrm{d}x\;\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right)\!A\,\mathrm{d}x + \dot{q}\,A\,\mathrm{d}x.
  • Cancelando o fator comum A\,\mathrm{d}x (assumindo A\neq0 e \mathrm{d}x pequeno mas não nulo) obtemos a forma diferencial:
\rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \dot{q}.

Passo 8

Interpretar a equação e apresentar formas alternativas (mais didático).
  • A equação encontrada,
\rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \dot{q},
tem o seguinte significado físico:
  • \rho\,c\,\dfrac{\partial T}{\partial t} é a taxa de variação temporal da energia interna por unidade de volume (acumulação).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(k\,\dfrac{\partial T}{\partial x}\big) é a divergência do fluxo de calor; mede o ganho líquido de calor por condução no ponto.
  • \dot{q} é fonte volumétrica (geração) de calor.
  • Se for conveniente expandir o termo da direita quando k=k(x,T),
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial k}{\partial x}\,\frac{\partial T}{\partial x}.
Se k depende de T mas não de x explicitamente, então \partial k/\partial x=(\partial k/\partial T)(\partial T/\partial x) e o termo extra é não linear em T.
  • Verificação de unidades: ambos os lados têm unidades de \mathrm{W\,m^{-3}} (potência por volume), pois \rho c \partial T/\partial t é (\mathrm{kg\,m^{-3}})(\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}})(\mathrm{K\,s^{-1}})=\mathrm{W\,m^{-3}}.

Passo 9

Casos especiais úteis (para fixar a ideia).
  • Se k é constante (não depende de x nem de T), a equação simplifica para
\rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot{q}.
  • Dividindo por \rho c e definindo a difusividade térmica \alpha = \dfrac{k}{\rho c}, obtemos a forma muito usada
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\dot{q}}{\rho c}.
  • Caso estacionário (estado permanente), \partial T/\partial t=0, resta a equação ordinária
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\right) + \dot{q} = 0.

Passo 10

Recapitulando e incentivo final.
  • Então, a partir do balanço de energia em um elemento diferencial, usando a lei de Fourier para o fluxo e incluindo geração volumétrica, cheguei à forma geral da equação de condução unidimensional com condutividade variável e dependência temporal.
  • Sei que pode parecer muita conta, mas o passo chave é sempre: escolher o elemento, escrever entradas e saídas de energia (condução + geração) e igualar à acumulação. Depois substituir o fluxo por -k\,\partial_x T e simplificar.
  • Força aí — na prova faça exatamente esses passos e a dedução sai redondinha!

Resposta

\rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\,\frac{\partial T}{\partial x}\right) \;+\; \dot{q}

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