2.1 Deduza a equação da condução de calor, dependente do tempo, com geração de energia interna e condutividade térmica variável, no sistema de coordenadas cartesianas com a variável
, a partir do balanço de energia num elemento diferencial de volume.
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza a equação da condução de calor, dependente do tempo, com geração de energia interna e condutividade térmica variável, no sistema de coordenadas cartesianas com a variável
, a partir do balanço de energia em um elemento diferencial de volume.
Informações e quantidades que o enunciado fornece / que vou usar:
- Temperatura incógnita:
. - Coordenada espacial:
(problema unidimensional). - Tempo:
. - Condutividade térmica variável:
(vou admitir que pode depender de e/ou de ; a forma final vale em qualquer caso, espontaneamente). - Geração volumétrica de energia (taxa volumétrica de calor):
em . - Densidade de massa:
em . - Calor específico por unidade de massa:
em . - Vou aplicar o balanço de energia (energia acumulada = energia que entra por condução + geração interna) num elemento diferencial de volume.
Nada mais será assumido. A partir daí vou construir o balanço e obter a equação diferencial parcial que relaciona
,
,
,
e
.
Passo 2
Definir o elemento diferencial e convenções de sinais.
- Escolho um elemento prismático de área de seção transversal
(perpendicular ao eixo ) e espessura . O volume do elemento é . - Convenção de sinais: a taxa de calor por unidade de área (fluxo de calor) na direção
é denotada por e tem unidades . Fluxo positivo em direção crescente de . - Pelo enunciado a condutividade térmica é variável, então é função
. A lei de Fourier local, que relaciona fluxo e gradiente de temperatura, é
Explicando: a lei de Fourier diz que o fluxo de calor vai do ponto mais quente para o mais frio; o sinal negativo garante isso. Aqui
mede “facilidade” de condução; unidades de
são
.
Passo 3
Expressar as contribuições por condução nas faces do elemento diferencial.
- Fluxo entrando pela face esquerda (em
) por unidade de área: . Potência entrando pela face esquerda: . - Fluxo saindo pela face direita (em
) por unidade de área: . Potência saindo pela face direita: . - A variação espacial do fluxo pode ser aproximada por expansão de Taylor:
- Portanto, a potência líquida por condução que entra no volume (entrada menos saída) é
- Como vamos trabalhar no limite
, desprezamos . Logo a contribuição por condução é
Passo 4
Substituir a lei de Fourier no termo de condução para tornar o balanço em termos de
e
.
- Usando
obtemos
- Portanto, a potência líquida por condução que entra no elemento vale
Observação didática: quando
varia com
(ou com
), a divergência do fluxo não é simplesmente
; aparece também um termo com
quando expandimos. Mas escrever na forma de divergência
é mais compacto e fisicamente correto para condutividade variável.
Passo 5
Escrever a contribuição da geração interna.
- Se há geração volumétrica de energia
(unidade ), a potência gerada dentro do volume é
Passo 6
Escrever a contribuição de acumulação de energia interna (lado esquerdo do balanço).
- A energia interna por unidade de massa associada ao aquecimento é caracterizada pelo calor específico
. A massa do elemento é . - A taxa de aumento de energia interna (potência de acumulação) é massa ×
× taxa de variação da temperatura:
Explicando:
é a massa, multiplicando por
dá a capacidade térmica do elemento; multiplicando por
dá a taxa de variação de energia por unidade de tempo.
Passo 7
Montar o balanço de energia e simplificar.
- Balanço (energia acumulada = condução líquida entrando + geração interna):
- Cancelando o fator comum
(assumindo e pequeno mas não nulo) obtemos a forma diferencial:
Passo 8
Interpretar a equação e apresentar formas alternativas (mais didático).
- A equação encontrada,
tem o seguinte significado físico:
-
é a taxa de variação temporal da energia interna por unidade de volume (acumulação). -
é a divergência do fluxo de calor; mede o ganho líquido de calor por condução no ponto. -
é fonte volumétrica (geração) de calor. - Se for conveniente expandir o termo da direita quando
,
Se
depende de
mas não de
explicitamente, então
e o termo extra é não linear em
.
- Verificação de unidades: ambos os lados têm unidades de
(potência por volume), pois é .
Passo 9
Casos especiais úteis (para fixar a ideia).
- Se
é constante (não depende de nem de ), a equação simplifica para
- Dividindo por
e definindo a difusividade térmica , obtemos a forma muito usada
- Caso estacionário (estado permanente),
, resta a equação ordinária
Passo 10
Recapitulando e incentivo final.
- Então, a partir do balanço de energia em um elemento diferencial, usando a lei de Fourier para o fluxo e incluindo geração volumétrica, cheguei à forma geral da equação de condução unidimensional com condutividade variável e dependência temporal.
- Sei que pode parecer muita conta, mas o passo chave é sempre: escolher o elemento, escrever entradas e saídas de energia (condução + geração) e igualar à acumulação. Depois substituir o fluxo por
e simplificar. - Força aí — na prova faça exatamente esses passos e a dedução sai redondinha!