(20) Determine constantes A e B reais de modo que a função abaixo seja contínua em R :
l x^2-4x-2, se x<2 A x^2-B x+3, se 2 <= x<3 2 x-A+B, se x >= 3

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2-4x-2, & x<2,[6pt] A x^2-B x+3, & 2<= x<3,[3pt] 2x - A + B, & x>=3,
e pede A e B reais tais que f seja contínua em R. Para isso precisamos garantir continuidade em x=2 e em x=3.]

Passo 2

Calcular limxto2^-f(x). Para x<2 temos
x^2-4x-2 =(x-2)(x+2)x-2 =x+2
Logo
limxto2^-f(x) =limxto2(x+2) =4

Passo 3

Impor continuidade em x=2 exige
limxto2^+f(x) =limxto2^-f(x)=4
Como para 2<= x<3 vale f(x)=Ax^2-Bx+3, temos
limxto2^+f(x) =4A-2B+3
e a condição
4A-2B+3=4 Longrightarrow 4A-2B=1 tag1

Passo 4

Calcular continuidade em x=3. O limite pela esquerda é
limxto3^-f(x) =9A-3B+3,
e pela direita, usando f(x)=2x-A+B, é
limxto3^+f(x) =6 -A + B
Igualando para continuidade em 3
9A-3B+3 = 6 -A + B Longrightarrow 10A-4B=3 Longrightarrow 5A-2B=tfrac32 tag2

Passo 5

Resolver o sistema linear em
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se
Substituindo em (4A-2B=1] vem

Resposta

A=tfrac12, B=tfrac12

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