Verifique se as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. E se possível, calcule a derivada .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f(z)=e^z
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann (CR) e, se for holomorfa, calcular f'(z).
Conteúdo: funções de variável complexa, CR e diferenciabilidade complexa.
Passo 2
Escrevemos z=x+iy. Então
e^z=e^x+iy=e^x(cos y+isin y),
e sua conjugada é
f(z)=e^z =e^x(cos y - isin y)
Logo, em termos de parte real u(x,y) e imaginária v(x,y), temos
u(x,y)=e^xcos y, v(x,y)=-,e^xsin y
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann são
ux = vy e uy = -,vx
Calculamos as derivadas parciais:
ux = partialpartial xl(e^xcos yr) = e^xcos y, uy = partialpartial yl(e^xcos yr) = -,e^xsin y,
vx = partialpartial xl(-e^xsin yr) = -,e^xsin y, vy = partialpartial yl(-e^xsin yr) = -,e^xcos y
Passo 4
Compara-se:
ux = e^xcos y, vy = -,e^xcos y Longrightarrow ux neq vy
(em geral, salvo e^x=0 que nunca ocorre)
e
uy = -,e^xsin y, -,vx = -(-,e^xsin y)=e^xsin y Longrightarrow uy neq -,vx
Portanto as equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto.
Resposta
A função f(z)=e^z não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto, logo não é holomorfa e não possui derivada complexa f'(z).