Verifique se exists lambda in R tal que a função seja contínua no ponto p :
f(x)=cc|x|x, & se x neq 0 lambda, & se x=0, p=0

Passo 1

O enunciado define
f(x)= |x|x, & x neq 0,[6pt] lambda, & x=0,
e pede que a gente veja se existe lambdainR que torne f contínua em p=0. Para isso, vamos analisar os limites laterais em 0.]

Passo 2

Calculamos o limite pela direita: para x>0 vale |x|x=xx=1. Logo
limxto 0^+f(x)=1

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda: para x<0 vale |x|x=-xx=-1. Logo
limxto 0^-f(x)=-1

Passo 4

Como limxto 0^+f(x)=1neq -1=limxto 0^-f(x), o limite limxto0f(x) não existe. Sem limite em 0, não há como igualar f(0)=lambda a esse valor para garantir continuidade.

Resposta

Não existe lambdainR que torne f contínua em x=0.

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