9-20
Um duto divergente bidimensional está sendo projetado para difundir o ar que sai em alta velocidade de um túnel de vento. O eixo
é o eixo central do duto (ele é simétrico em relação ao eixo
), e as paredes superior e inferior devem ser curvadas de maneira que a velocidade axial
do vento decresça de forma aproximadamente linear de
na seção 1 para
na seção 2 (Figura P9-20). Ao mesmo tempo, a densidade
do ar deve aumentar de forma aproximadamente linear de
na seção 1 até
na seção 2 . O duto divergente tem
de comprimento e 1,60 m de altura na seção 1 (na Figura P9-20 está representada somente a metade superior; a meia-altura na seção 1 tem
). (a) Calcule a componente
da velocidade,
, no duto. (b) Faça um gráfico da forma aproximada do duto, ignorando o atrito nas paredes. (c) Qual deverá ser a meia-altura do duto na seção 2?
Um duto divergente bidimensional está sendo projetado para difundir o ar que sai em alta velocidade de um túnel de vento. O eixo
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Calcular a componente
da velocidade, , dentro do duto divergente (considerando a metade superior mostrada na figura). - (b) Fazer um gráfico (ou descrever a forma aproximada) do duto, desprezando atrito nas paredes.
- (c) Determinar a meia-altura do duto na seção 2.
Dados fornecidos (peguei a meia-altura inicial
na seção 1 da imagem):
- Comprimento entre as seções:
. - Na seção 1 (vou tomar
): velocidade axial , , meia-altura . - Na seção 2 (vou tomar
): densidade , . - O enunciado diz que
e variam aproximadamente de forma linear entre as seções.
Observações que vamos usar: fluxo bidimensional, simetria em relação ao eixo
(portanto
em
), e velocidade axial
e densidade
assumidas uniformes em
(dependem apenas de
), variando linearmente com
.
Passo 2
Princípio físico a usar: continuidade para escoamento compressível e bidimensional, condição de simetria e condição de não-penetração nas paredes.
A equação da continuidade (steady, 2D) é
Explicando:
é a densidade local (kg/m³),
é a componente axial (m/s) e
é a componente vertical (m/s). A primeira parcela representa variação do fluxo de massa na direção
; a segunda parcela representa variação na direção
. Como o problema é steady (estado estacionário), não há termo temporal.
Como
depende só de
(suposição do enunciado: variação linear com
e independente de
), podemos escrever
Integramos em
:
onde
é função de
vinda da integração. Aplicando a condição de simetria no eixo
(a meia-altura
é linha de simetria, o fluxo vertical aí é zero), temos
, logo
.
Portanto obtemos a expressão geral (válida enquanto
e
forem funções apenas de
):
Interpretação:
é linear em
(simetria linear), com inclinação vertical controlada pela variação do fluxo de massa axial
ao longo de
.
Passo 3
Agora vamos obter expressões explícitas porque
e
variam linearmente entre as seções. Tomando
na seção 1 e
na seção 2:
Defino as funções lineares:
(As unidades:
em metros,
em m/s,
em kg/m³; as inclinações
e
.)
Calculamos
e sua derivada:
logo
Agora substituímos na fórmula de
:
Portanto a expressão explícita (para
e
, meia-altura) é
Verificação física rápida: em
temos
(simetria); sinal de
positivo indica fluxo vertical para cima na metade superior quando
decresce com
(o que é consistente com difusão).]
Passo 4
Agora encontramos a forma do duto (parte (b)). Condição de contorno nas paredes: impermeabilidade (parede fixa) implica que a velocidade do fluido seja tangente à parede. Se a parede superior é
, a inclinação da parede é
e a razão entre componentes de velocidade na parede é
Substituímos
na condição:
Isto é uma equação separável. Reescrevendo:
ou
Integramos em
:
A constante
é determinada pela seção 1:
. Assim a solução fechada é
Interpretação física simples:
é a vazão mássica por unidade de comprimento (em
); como a vazão é conservada,
é constante (metade da seção foi usada, daí o
em vez de
quando consideramos apenas a metade superior).
Para plotar a forma aproximada do duto (basta traçar
para
). Vou dar alguns pontos discretos para ajudar o esboço (usei a expressão acima e os valores numéricos já dados):
-
: , logo (conferência). -
: , , então . -
: , então . -
: , então . -
: cálculo no passo seguinte dá .
Desenho/forma: começa em
, cresce lentamente no início e mais acentuadamente próximo da saída, curva para cima convexo (aumenta mais rápido com
), chegando em
. Esse é o gráfico aproximado pedido, ignorando atrito nas paredes.
Passo 5
Cálculo final da meia-altura na seção 2 (parte (c)):
Usando a fórmula
e os valores:
Logo
Resposta
(a)
(b) A forma do duto é dada por
com
e
. Pontos úteis para traçar:
,
,
,
,
. (Curva convexa, crescimento mais acelerado próximo à saída.)
(c)
.