9-20
Um duto divergente bidimensional está sendo projetado para difundir o ar que sai em alta velocidade de um túnel de vento. O eixo x é o eixo central do duto (ele é simétrico em relação ao eixo x ), e as paredes superior e inferior devem ser curvadas de maneira que a velocidade axial u do vento decresça de forma aproximadamente linear de u_{1}=300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na seção 1 para u_{2}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na seção 2 (Figura P9-20). Ao mesmo tempo, a densidade \rho do ar deve aumentar de forma aproximadamente linear de \rho_{1}=0,85 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} na seção 1 até \rho_{2}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} na seção 2 . O duto divergente tem 2,0 \mathrm{~m} de comprimento e 1,60 m de altura na seção 1 (na Figura P9-20 está representada somente a metade superior; a meia-altura na seção 1 tem 0,80 \mathrm{~m} ). (a) Calcule a componente y da velocidade, v(x, y), no duto. (b) Faça um gráfico da forma aproximada do duto, ignorando o atrito nas paredes. (c) Qual deverá ser a meia-altura do duto na seção 2?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular a componente y da velocidade, v(x,y), dentro do duto divergente (considerando a metade superior mostrada na figura).
  • (b) Fazer um gráfico (ou descrever a forma aproximada) do duto, desprezando atrito nas paredes.
  • (c) Determinar a meia-altura do duto na seção 2.
Dados fornecidos (peguei a meia-altura inicial 0,80\\ \mathrm{m} na seção 1 da imagem):
  • Comprimento entre as seções: \Delta x=2,0\\ \mathrm{m}.
  • Na seção 1 (vou tomar x=0): velocidade axial \rho_1=0,85\\ \mathrm{kg/m^3}, u_1=300\\ \mathrm{m/s}, meia-altura h_1=0,80\\ \mathrm{m}.
  • Na seção 2 (vou tomar x=\Delta x=2{,}0\\ \mathrm{m}): densidade \rho_2=1,20\\ \mathrm{kg/m^3}, u_2=100\\ \mathrm{m/s}.
  • O enunciado diz que u e \rho variam aproximadamente de forma linear entre as seções.
Observações que vamos usar: fluxo bidimensional, simetria em relação ao eixo x (portanto v=0 em y=0), e velocidade axial u e densidade \rho assumidas uniformes em y (dependem apenas de x), variando linearmente com x.

Passo 2

Princípio físico a usar: continuidade para escoamento compressível e bidimensional, condição de simetria e condição de não-penetração nas paredes.
A equação da continuidade (steady, 2D) é
\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}=0.
Explicando: \rho(x) é a densidade local (kg/m³), u(x) é a componente axial (m/s) e v(x,y) é a componente vertical (m/s). A primeira parcela representa variação do fluxo de massa na direção x; a segunda parcela representa variação na direção y. Como o problema é steady (estado estacionário), não há termo temporal.
Como \rho u depende só de x (suposição do enunciado: variação linear com x e independente de y), podemos escrever
\frac{\partial (\rho v)}{\partial y} = -\frac{d(\rho u)}{dx}.
Integramos em y:
\rho(x)\,v(x,y) = -y\,\frac{d(\rho u)}{dx} + C(x),
onde C(x) é função de x vinda da integração. Aplicando a condição de simetria no eixo y=0 (a meia-altura y=0 é linha de simetria, o fluxo vertical aí é zero), temos v(x,0)=0, logo C(x)=0.
Portanto obtemos a expressão geral (válida enquanto \rho e u forem funções apenas de x):
\boxed{\;v(x,y) = -\frac{y}{\rho(x)}\;\frac{d(\rho u)}{dx}\; }.
Interpretação: v é linear em y (simetria linear), com inclinação vertical controlada pela variação do fluxo de massa axial \rho u ao longo de x.

Passo 3

Agora vamos obter expressões explícitas porque \rho(x) e u(x) variam linearmente entre as seções. Tomando x=0 na seção 1 e x=2{,}0\\ \mathrm{m} na seção 2:
Defino as funções lineares:
\begin{aligned} u(x) &= u_1 + \frac{u_2-u_1}{\Delta x}\,x = 300 + \frac{100-300}{2}\,x = 300 -100\,x,\\[4pt] \rho(x) &= \rho_1 + \frac{\rho_2-\rho_1}{\Delta x}\,x = 0{,}85 + \frac{1{,}20-0{,}85}{2}\,x = 0{,}85 + 0{,}175\,x. \end{aligned}
(As unidades: x em metros, u em m/s, \rho em kg/m³; as inclinações -100\\ \mathrm{(m/s)/m} e 0{,}175\\ \mathrm{(kg/m^3)/m}.)
Calculamos \rho(x)u(x) e sua derivada:
\begin{aligned} \rho(x)u(x) &= \bigl(0{,}85 + 0{,}175x\bigr)\bigl(300-100x\bigr)\\[4pt] &= 255 -32{,}5\,x -17{,}5\,x^2, \end{aligned}
logo
\frac{d(\rho u)}{dx} = -32{,}5 -35\,x.
Agora substituímos na fórmula de v:
v(x,y) = -\frac{y}{\rho(x)}\bigl(-32{,}5 -35x\bigr) = \frac{y\bigl(32{,}5+35x\bigr)}{0{,}85+0{,}175x}.
Portanto a expressão explícita (para 0\le x\le 2{,}0 e 0\le y\le h(x), meia-altura) é
\boxed{\;v(x,y)=\frac{y\bigl(32{,}5+35x\bigr)}{0{,}85+0{,}175x}\quad(\mathrm{m/s})\; }.
Verificação física rápida: em y=0 temos v=0 (simetria); sinal de v positivo indica fluxo vertical para cima na metade superior quando \rho u decresce com x (o que é consistente com difusão).]

Passo 4

Agora encontramos a forma do duto (parte (b)). Condição de contorno nas paredes: impermeabilidade (parede fixa) implica que a velocidade do fluido seja tangente à parede. Se a parede superior é y=h(x), a inclinação da parede é dh/dx e a razão entre componentes de velocidade na parede é
\frac{dh}{dx} = \frac{v(x,h(x))}{u(x)}.
Substituímos v na condição:
\frac{dh}{dx} = -\frac{h}{\rho u}\frac{d(\rho u)}{dx}.
Isto é uma equação separável. Reescrevendo:
\frac{1}{h}\,dh = -\frac{1}{\rho u}\,d(\rho u)
ou
d(\ln h) = -d(\ln(\rho u)).
Integramos em x:
\ln h = -\ln(\rho u) + \ln C \quad\Rightarrow\quad h(x)=\frac{C}{\rho(x)u(x)}.
A constante C é determinada pela seção 1: C=\rho_1 u_1 h_1. Assim a solução fechada é
\boxed{\;h(x)=\frac{\rho_1 u_1 h_1}{\rho(x)\,u(x)}\; }.
Interpretação física simples: 2h(x)\rho(x)u(x) é a vazão mássica por unidade de comprimento (em z); como a vazão é conservada, \rho u h é constante (metade da seção foi usada, daí o h em vez de 2h quando consideramos apenas a metade superior).
Para plotar a forma aproximada do duto (basta traçar y=h(x) para 0\le x\le2). Vou dar alguns pontos discretos para ajudar o esboço (usei a expressão acima e os valores numéricos já dados):
  • x=0{,}0: \rho u h = 0{,}85\cdot 300\cdot 0{,}80 = 204, logo h(0)=0{,}80 (conferência).
  • x=0{,}5: \rho(0{,}5)=0{,}85+0{,}175\cdot0{,}5=0{,}9375, u(0{,}5)=300-100\cdot0{,}5=250, então h(0{,}5)=204/(0{,}9375\cdot250)\approx0{,}87\\ \mathrm{m}.
  • x=1{,}0: \rho(1)=1{,}025,\\ u(1)=200, então h(1)\approx204/(1{,}025\cdot200)\approx0{,}995\\ \mathrm{m}.
  • x=1{,}5: \rho(1{,}5)=1{,}1125,\\ u(1{,}5)=150, então h(1{,}5)\approx204/(1{,}1125\cdot150)\approx1{,}22\\ \mathrm{m}.
  • x=2{,}0: cálculo no passo seguinte dá h(2)=1{,}70\\ \mathrm{m}.
Desenho/forma: começa em h(0)=0{,}80\\ \mathrm{m}, cresce lentamente no início e mais acentuadamente próximo da saída, curva para cima convexo (aumenta mais rápido com x), chegando em h(2)=1{,}70\\ \mathrm{m}. Esse é o gráfico aproximado pedido, ignorando atrito nas paredes.

Passo 5

Cálculo final da meia-altura na seção 2 (parte (c)):
Usando a fórmula h_2 = \dfrac{\rho_1 u_1 h_1}{\rho_2 u_2} e os valores:
\rho_1 u_1 h_1 = 0{,}85 \cdot 300 \cdot 0{,}80 = 204, \qquad \rho_2 u_2 = 1{,}20 \cdot 100 = 120.
Logo
h_2 = \frac{204}{120} = 1{,}7\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v(x,y)=\dfrac{y\bigl(32{,}5+35x\bigr)}{0{,}85+0{,}175x}\\ \mathrm{(m/s)}
(b) A forma do duto é dada por h(x)=\dfrac{\rho_1 u_1 h_1}{\rho(x)u(x)} com \rho(x)=0{,}85+0{,}175x e u(x)=300-100x. Pontos úteis para traçar: h(0)=0{,}80\\ \mathrm{m}, h(0{,}5)\approx0{,}87\\ \mathrm{m}, h(1{,}0)\approx0{,}995\\ \mathrm{m}, h(1{,}5)\approx1{,}22\\ \mathrm{m}, h(2{,}0)=1{,}70\\ \mathrm{m}. (Curva convexa, crescimento mais acelerado próximo à saída.)
(c) h_2=1{,}7\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados