Suponha que uma nuvem de tempestade, com
de largura e
de comprimento, flutua
acima de uma área plana. A nuvem está dotada de 160 C de carga, enquanto o solo é neutro. (a) Quanto vale a diferença de potencial entre a nuvem e o solo? (b) A ocorrência de raios requer intensidades de campo elétrico de aproximadamente
. As condições descritas no problema são suficientes para a ocorrência de um raio? (c) Qual é a energia potencial elétrica total contida no campo existente entre a nuvem de tempestade e o solo? (Aproxime o sistema nuvem-solo como um capacitor de placas paralelas)
Passo 1
O enunciado dá uma nuvem de tempestade aproximada por uma placa (reta) com dimensões
de largura e
de comprimento, localizada a
acima do solo. A nuvem tem carga elétrica
e o solo é neutro. As perguntas são:
- (a) Qual a diferença de potencial (tensão) entre a nuvem e o solo?
- (b) Essas condições são suficientes para gerar um raio, sabendo que a ruptura do ar ocorre para intensidades de campo elétrico por volta de
? - (c) Qual é a energia potencial elétrica total armazenada no campo entre nuvem e solo, aproximando o sistema como um capacitor de placas paralelas?
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou usá-las nas contas):
- Largura
. - Comprimento
. - Distância entre nuvem e solo
. - Carga na nuvem
. - Valor do campo crítico para raios
. - Constante de permissividade do vácuo
(usada para modelos elétricos no ar).
Passo 2
Calcular a área da “placa” que representa a nuvem. Como a nuvem tem largura e comprimento dados, a área é produto desses dois números.
Converter para metros:
Logo,
Passo 3
Explicar o modelo físico que vamos usar e a fórmula do campo elétrico entre placas paralelas.
No modelo de placas paralelas (placas grandes e relativamente próximas), o campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme e é dado por
No modelo de placas paralelas (placas grandes e relativamente próximas), o campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme e é dado por
onde
é a densidade superficial de carga (carga por unidade de área) e
é a permissividade do vácuo. Aqui usamos
. Portanto,
Explicação das variáveis:
-
é a intensidade do campo elétrico (em ). -
é a carga elétrica total na nuvem (em ). -
é a área efetiva da nuvem (em ). -
é uma constante física (em ), que aparece nas fórmulas eletrostáticas em meios próximos ao vácuo/ ar.
Passo 4
Calcular a densidade superficial de carga
e então o campo
.
Fazendo a divisão:
Agora o campo:
Calcule o denominador:
Portanto
Interpretação: o modelo prediz um campo elétrico médio entre nuvem e solo de aproximadamente
, ou seja, cerca de
.
Passo 5
Calcular a diferença de potencial (tensão) entre as placas a partir do campo. Para um campo uniforme,
onde
é a separação entre as placas (nuvem e solo). Aqui
. Então
Ou seja, a diferença de potencial entre a nuvem e o solo no modelo é aproximadamente
(ou
).
Passo 6
Responder a parte (b) — comparar o campo calculado com o campo crítico para ruptura do ar.
O campo crítico dado é . Nosso campo estimado é
. Como
O campo crítico dado é
pela estimativa do modelo a intensidade de campo média excede o limiar de ruptura do ar. Portanto, nas condições do problema o campo é suficiente, em princípio, para provocar a descarga elétrica (raio). Observação física prática (didática): na realidade a formação de um raio também depende de irregularidades, pontos de ionização locais, o caminho de menor resistência etc., mas no modelo idealizado a condição de ruptura é satisfeita.
Passo 7
Calcular a capacitância do sistema nuvem-solo no modelo de capacitor de placas paralelas. A fórmula é
Substituindo:
Portanto
.
Passo 8
Calcular a energia elétrica armazenada no capacitor. Usamos a fórmula
Já temos
e
. Então
Calcule
:
Agora
Multiplicando os fatores:
Verificação alternativa (mesmo resultado): usar
. Com
e
,
o que confirma o valor.
Passo 9
Breve interpretação dos números para te animar:
é enorme — ordem de gigavolts — e a energia
é também muito grande (ordem de 10^11 joules), compatível com as grandes energias liberadas por descargas atmosféricas reais. Esses valores saem do modelo ideal de placas paralelas e ilustram por que tempestades elétricas são perigosas.
Resposta
(a)
(b) Sim. O campo estimado é , maior que
, logo, em princípio, condições suficientes para raio.
(c)
(b) Sim. O campo estimado é
(c)