Um foguete é lançado verticalmente para cima. No instante em que atinge uma altitude de 2500 m e uma velocidade de v_{i}=320 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ele explode em três fragmentos de mesma massa. Um dos fragmentos se move para cima com uma velocidade de v_{1}=450 \mathrm{~m} / \mathrm{s} logo após a explosão. O segundo fragmento tem uma velocidade de v_{2}=260 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e move-se para o leste logo após a explosão. (a) Qual é a velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão? (b) Qual a posição do centro de massa do sistema em relação ao chão 3,00 \mathrm{~s} após a explosão?

Passo 1

O enunciado dá um foguete que, no instante da explosão, está a uma altitude de 2500\\ \mathrm{m} e com velocidade para cima de v_i=320\\ \mathrm{m/s}. Após a explosão ele se divide em três fragmentos de mesma massa (cada um com massa m, total 3m). Logo após a explosão:
  • o fragmento 1 tem velocidade para cima v_1=450\\ \mathrm{m/s};
  • o fragmento 2 tem velocidade para o leste v_2=260\\ \mathrm{m/s};
  • o fragmento 3 tem velocidade desconhecida \vec{v}_3 (é o que devemos achar no item (a)).
    Perguntas:
    (a) Qual é a velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão? (esperamos uma velocidade vetorial — componentes, módulo e direção).
    (b) Qual a posição do centro de massa do sistema em relação ao chão 3{,}00\\ \mathrm{s} após a explosão?
Informações relevantes listadas:
\text{altura inicial (no instante da explosão): } y_0=2500\\ \mathrm{m}ã
\text{velocidade inicial do sistema (antes/na explosão): } \vec{v}_\text{ini}=v_i\hat{y}=320\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{y}ã
\text{fragmentos: massas iguais } m,\\ \text{velocidades } \vec{v}_1=450\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{y},\\ \vec{v}_2=260\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x},\\ \vec{v}_3=\\ ?
Observação importante (usada depois): a explosão envolve apenas forças internas, então a quantidade de movimento total do sistema (momento linear) é conservada no instante imediatamente após a explosão. Também, o movimento do centro de massa após a explosão é o mesmo que o de um corpo de massa total sujeito apenas às forças externas (aqui: o peso), portanto obedece à cinemática com aceleração -g\hat{y}.

Passo 2

Conservação do momento linear (quantidade de movimento) aplicada imediatamente após a explosão.
Explicação do conceito (aula rápida e prática): o momento linear de um corpo é \vec{p}=m\vec{v}. Se as forças externas num intervalo curto são desprezíveis (ou se consideramos apenas o instante da explosão, que envolve forças internas grandes), a soma vetorial dos momentos antes e depois é a mesma. Para sistemas de partículas com massas m_i e velocidades \vec{v}_i,
\sum_i m_i \vec{v}_{i,\text{antes}}=\sum_i m_i \vec{v}_{i,\text{depois}}.
No nosso caso as massas dos fragmentos são iguais ( m) e o momento inicial do sistema é 3m\vec{v}_i.
Escrevendo a conservação (vetorial):
3m\,\vec{v}_i = m\,\vec{v}_1 + m\,\vec{v}_2 + m\,\vec{v}_3.
Como todos os termos têm fator m, podemos dividir por m:
3\vec{v}_i = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3.

Passo 3

Substituir as velocidades conhecidas e isolar \vec{v}_3.
Escrevendo vetorialmente com eixos: escolhemos \hat{y} para cima e \hat{x} para leste.
3(v_i\hat{y}) = v_1\hat{y} + v_2\hat{x} + \vec{v}_3.
Logo,
\vec{v}_3 = 3v_i\hat{y} - v_1\hat{y} - v_2\hat{x}.
Agora substituímos os números: v_i=320, v_1=450, v_2=260 (unidades \mathrm{m/s}).
Calculemos a componente vertical:
v_{3y} = 3v_i - v_1 = 3\cdot 320 - 450 = 960 - 450 = 510\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos a componente horizontal (eixo x, leste positivo):
v_{3x} = -v_2 = -260\\ \mathrm{m/s}
(escrevemos negativo porque o fragmento 2 foi para leste, então para conservar o momentum o terceiro tem componente x para oeste).
Portanto o vetor é
\vec{v}_3 = -260\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x} + 510\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{y}.

Passo 4

Encontrar o módulo e a direção do vetor \vec{v}_3.
Fórmula do módulo de um vetor em componentes bidimensionais (Pitagoras):
\|\vec{v}_3\|=\sqrt{v_{3x}^2 + v_{3y}^2}.
Substituindo:
\|\vec{v}_3\|=\sqrt{(-260)^2 + 510^2}=\sqrt{67600 + 260100}=\sqrt{327700}.
Aproximando a raiz:
\|\vec{v}_3\|\approx 572{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Direção: podemos dar o ângulo \theta em relação à vertical (para ficar intuitivo: “o quanto ele se afasta da vertical, em direção oeste”). Usamos a tangente:
\tan\theta = \frac{|v_{3x}|}{v_{3y}}=\frac{260}{510}\approx 0{,}5098.
Portanto
\theta \approx \arctan(0{,}5098)\approx 27^\circ.
Interpretação: o terceiro fragmento tem direção formando aproximadamente 27^\circ com a vertical, inclinado em direção ao oeste (porque v_{3x} é negativo).

Passo 5

Agora a posição do centro de massa 3{,}00\\ \mathrm{s} após a explosão.
Conceito usado (aula curta): o centro de massa de um sistema isolado (sujeito apenas a forças externas que atuam igualmente em todas as partes, como o peso) se move como se toda a massa estivesse concentrada nele e sujeita às forças externas. A explosão envolve forças internas e não altera a posição ou velocidade instantânea do centro de massa; portanto, imediatamente após a explosão o centro de massa tem posição y_0=2500\\ \mathrm{m} e velocidade vertical v_{\text{cm},0}=v_i=320\\ \mathrm{m/s} para cima. A aceleração vertical é a gravidade -g com g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
Usamos a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) para a coordenada vertical do centro de massa:
y_\text{cm}(t)=y_0 + v_{\text{cm},0}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Substituindo y_0=2500, v_{\text{cm},0}=320, g=9{,}80 e t=3{,}00:
y_\text{cm}(3{,}00)=2500 + 320\cdot 3{,}00 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80\cdot (3{,}00)^2.
Calcule passo a passo:
320\cdot 3{,}00 = 960,
(3{,}00)^2 = 9{,}00,
\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80\cdot 9{,}00 = 4{,}90\cdot 9{,}00 = 44{,}1.
Logo
y_\text{cm}(3{,}00)=2500 + 960 - 44{,}1 = 3415{,}9\\ \mathrm{m}.
Interpretação física rápida: apesar de os fragmentos irem em direções diferentes, o centro de massa continua sua trajetória para cima desacelerando pela gravidade exatamente como se nada interno tivesse acontecido — por isso basta aplicar MRUA com as condições iniciais do sistema.

Resposta

(a) \vec{v}_3 = -260\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x} + 510\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{y}; módulo \|\vec{v}_3\|\approx 572{,}5\\ \mathrm{m/s}, direção: aproximadamente 27^\circ em relação à vertical, em direção ao oeste.
(b) y_\text{cm}(3{,}00\\ \mathrm{s}) = 3415{,}9\\ \mathrm{m}

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