Um foguete é lançado verticalmente para cima. No instante em que atinge uma altitude de 2500 m e uma velocidade de
, ele explode em três fragmentos de mesma massa. Um dos fragmentos se move para cima com uma velocidade de
logo após a explosão. O segundo fragmento tem uma velocidade de
e move-se para o leste logo após a explosão. (a) Qual é a velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão? (b) Qual a posição do centro de massa do sistema em relação ao chão
após a explosão?
Passo 1
O enunciado dá um foguete que, no instante da explosão, está a uma altitude de
e com velocidade para cima de
. Após a explosão ele se divide em três fragmentos de mesma massa (cada um com massa
, total
). Logo após a explosão:
- o fragmento 1 tem velocidade para cima
; - o fragmento 2 tem velocidade para o leste
; - o fragmento 3 tem velocidade desconhecida
(é o que devemos achar no item (a)).
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão? (esperamos uma velocidade vetorial — componentes, módulo e direção).
(b) Qual a posição do centro de massa do sistema em relação ao chãoapós a explosão?
Informações relevantes listadas:
Observação importante (usada depois): a explosão envolve apenas forças internas, então a quantidade de movimento total do sistema (momento linear) é conservada no instante imediatamente após a explosão. Também, o movimento do centro de massa após a explosão é o mesmo que o de um corpo de massa total sujeito apenas às forças externas (aqui: o peso), portanto obedece à cinemática com aceleração
.
Passo 2
Conservação do momento linear (quantidade de movimento) aplicada imediatamente após a explosão.
Explicação do conceito (aula rápida e prática): o momento linear de um corpo é
. Se as forças externas num intervalo curto são desprezíveis (ou se consideramos apenas o instante da explosão, que envolve forças internas grandes), a soma vetorial dos momentos antes e depois é a mesma. Para sistemas de partículas com massas
e velocidades
,
No nosso caso as massas dos fragmentos são iguais (
) e o momento inicial do sistema é
.
Escrevendo a conservação (vetorial):
Como todos os termos têm fator
, podemos dividir por
:
Passo 3
Substituir as velocidades conhecidas e isolar
.
Escrevendo vetorialmente com eixos: escolhemos
para cima e
para leste.
Logo,
Agora substituímos os números:
,
,
(unidades
).
Calculemos a componente vertical:
Calculemos a componente vertical:
Calculemos a componente horizontal (eixo
, leste positivo):
(escrevemos negativo porque o fragmento 2 foi para leste, então para conservar o momentum o terceiro tem componente
para oeste).
Portanto o vetor é
Passo 4
Encontrar o módulo e a direção do vetor
.
Fórmula do módulo de um vetor em componentes bidimensionais (Pitagoras):
Substituindo:
Aproximando a raiz:
Direção: podemos dar o ângulo
em relação à vertical (para ficar intuitivo: “o quanto ele se afasta da vertical, em direção oeste”). Usamos a tangente:
Portanto
Interpretação: o terceiro fragmento tem direção formando aproximadamente
com a vertical, inclinado em direção ao oeste (porque
é negativo).
Passo 5
Agora a posição do centro de massa
após a explosão.
Conceito usado (aula curta): o centro de massa de um sistema isolado (sujeito apenas a forças externas que atuam igualmente em todas as partes, como o peso) se move como se toda a massa estivesse concentrada nele e sujeita às forças externas. A explosão envolve forças internas e não altera a posição ou velocidade instantânea do centro de massa; portanto, imediatamente após a explosão o centro de massa tem posição
e velocidade vertical
para cima. A aceleração vertical é a gravidade
com
.
Usamos a equação do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) para a coordenada vertical do centro de massa:
Substituindo
,
,
e
:
Calcule passo a passo:
Logo
Interpretação física rápida: apesar de os fragmentos irem em direções diferentes, o centro de massa continua sua trajetória para cima desacelerando pela gravidade exatamente como se nada interno tivesse acontecido — por isso basta aplicar MRUA com as condições iniciais do sistema.
Resposta
(a)
; módulo
, direção: aproximadamente
em relação à vertical, em direção ao oeste.
(b)