1- Considere um sistema de 5 partículas distintas e não interagentes, cada qual pode ter somente energias \varepsilon=n e, n=0,1,2,3, \ldots onde e=0,015 \mathrm{eV}. Estes são os estados individuais de energia. Como as partículas não interagem a energia do sistema pode ser escrita como uma soma de energias privadas:
E=\varepsilon^{(1)}+\varepsilon^{(2)}+\varepsilon^{(3)}+\varepsilon^{(4)}+\varepsilon^{(5)}=n_{1} e+n_{2} e+n_{3} e+n_{4} e+n_{5} e
A soma certamente resultará num multiplo de e, ou seja, E=\alpha e, onde \alpha=0,1,2,3, \cdots. O estado do sistema é especificado pelo conjunto dos números quânticos: \left\{n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, n_{5}\right\}. O estado vamos rotular simplesmente por r.
(a) Complete a tabela da degenerescência, ao menos até r=11.
estado r do sistema Nivel de energia do sistema \Omega(E)
1 \mathrm{E}=0 1
2 \mathrm{E}=e 5
3 \mathrm{E}=2 \mathrm{e} 15
4
5
6
7
8
9
10
11 \mathrm{E}=10 e 1001
... ...
(b) Calcule a função partição do sistema.
(c) Considerendo \beta e=1 / 2 avalie esta função partição.
(d) Tendo a função partição, determine a distribuição de probabilidades p_{r} (probabilidade de se encontrar o sistema em um dado estado r de energia E_{r}.
(e) Determine a distribuição de probabilidades p\left(E_{r}\right) (probabilidade do sistema ter um certa energia E_{r} )
(f) Trace em um mesmo gráfico p_{r}, \Omega(E) e p(E) em função de E.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com 5 partículas distintas e não interagentes. Cada partícula pode ocupar estados de energia
\varepsilon = n e,\quad n=0,1,2,\ldots
com e=0,015\\ \mathrm{eV}. A energia total do sistema é
E=\varepsilon^{(1)}+\varepsilon^{(2)}+\varepsilon^{(3)}+\varepsilon^{(4)}+\varepsilon^{(5)}= (n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5})\,e.
Definimos \alpha=n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}, de modo que E=\alpha e. Um microestado do sistema é o conjunto \{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}. O enunciado pede:
(a) Completar a tabela da degenerescência \Omega(E) (nº de microestados) até o nível r=11 (já vêm alguns valores);
(b) Calcular a função partição Z do sistema;
(c) Avaliar Z para \beta e = 1/2;
(d) Determinar a distribuição de probabilidades p_{r} (probabilidade de um microestado r com energia E_r);
(e) Determinar a distribuição p(E_r) (probabilidade do sistema ter energia E_r);
(f) Traçar no mesmo gráfico p_{r},\\ \Omega(E) e p(E) em função de E.
Informações relevantes listadas:
  • Número de partículas: 5 (distintas).
  • Estados por partícula: \varepsilon = n e, n\ge0.
  • Energia total: E=\alpha e, \alpha=0,1,2,\ldots.
  • Parte (a) pede degenerescência até \alpha=10 (pois r=11 tem E=10e já dado).
  • Não há interação entre partículas (permite fatoração da partição).
    A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

(a) Encontrar \Omega(E) para cada \alpha (degenerescência).
Explicação didática do método (stars-and-bars / contagem de soluções inteiras não-negativas):
  • Queremos contar o número de soluções inteiras não-negativas de
n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=\alpha,
onde n_i\in\{0,1,2,\ldots\}. Cada solução corresponde a um microestado distinto (as partículas são distintas).
  • Um resultado combinatório padrão (o método das “barras e estrelas”) diz que o número de soluções é
\Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+5-1}{5-1}=\binom{\alpha+4}{4}.
Breve intuição: imagine \alpha estrelas a serem distribuídas em 5 caixas; precisamos escolher as 4 divisórias entre as estrelas+divisórias, daí \binom{\alpha+4}{4}.
Agora calculamos explicitamente para \alpha=0,1,\ldots,10 (isto corresponde aos estados r=1,2,\ldots,11):
Usamos a fórmula \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4}.
Calculando cada coeficiente:
\begin{aligned} \alpha=0&:\\ \Omega=\binom{4}{4}=1,\\\ \alpha=1&:\\ \Omega=\binom{5}{4}=5,\\\ \alpha=2&:\\ \Omega=\binom{6}{4}=15,\\\ \alpha=3&:\\ \Omega=\binom{7}{4}=35,\\\ \alpha=4&:\\ \Omega=\binom{8}{4}=70,\\\ \alpha=5&:\\ \Omega=\binom{9}{4}=126,\\\ \alpha=6&:\\ \Omega=\binom{10}{4}=210,\\\ \alpha=7&:\\ \Omega=\binom{11}{4}=330,\\\ \alpha=8&:\\ \Omega=\binom{12}{4}=495,\\\ \alpha=9&:\\ \Omega=\binom{13}{4}=715,\\\ \alpha=10&:\\ \Omega=\binom{14}{4}=1001. \end{aligned}
Preenchendo a tabela pedida (cada linha \Rightarrow estado r com E=\alpha e e \Omega):
  • r=1:\\ E=0 = 0\cdot e,\\ \Omega=1 (dado).
  • r=2:\\ E=e = 1\cdot e,\\ \Omega=5 (dado).
  • r=3:\\ E=2e,\\ \Omega=15 (dado).
  • r=4:\\ E=3e,\\ \Omega=35.
  • r=5:\\ E=4e,\\ \Omega=70.
  • r=6:\\ E=5e,\\ \Omega=126.
  • r=7:\\ E=6e,\\ \Omega=210.
  • r=8:\\ E=7e,\\ \Omega=330.
  • r=9:\\ E=8e,\\ \Omega=495.
  • r=10:\\ E=9e,\\ \Omega=715.
  • r=11:\\ E=10e,\\ \Omega=1001 (dado).
Observação final do passo: já temos a sequência completa até r=11.

Passo 3

(b) Função partição Z do sistema — derivação passo a passo.
Definição e ideia:
  • Em cânonico, a função partição do sistema é
Z=\sum_{\text{microestados }r} e^{-\beta E_r}.
Como as partículas não interagem e são distintas, é muito mais simples construir Z a partir da partição de uma partícula.
Partição de uma partícula:
  • A partição de uma partícula (chamemos de z_1) é a soma sobre seus estados:
z_1=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta (n e)}=\sum_{n=0}^{\infty} q^{n},
onde definimos
q\equiv e^{-\beta e}.
  • A soma é uma série geométrica de razão q (com |q|<1 para \beta e>0), logo
z_1=\frac{1}{1-q}.
Partição do sistema de 5 partículas distintas:
  • Para partículas distintas e não interagentes, a função partição total é o produto das partições individuais:
Z=(z_1)^5=\left(\frac{1}{1-q}\right)^{5}.
Verificação alternativa somando por níveis de energia:
  • Somando por energia E=\alpha e com degenerescência \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4}, tem-se
Z=\sum_{\alpha=0}^{\infty} \binom{\alpha+4}{4} q^{\alpha}.
  • Esta soma é a expansão da série de binômios generalizada e resulta exatamente em
\sum_{\alpha=0}^{\infty} \binom{\alpha+4}{4} q^{\alpha}=\frac{1}{(1-q)^{5}},
coincidindo com a fatoração anterior. Portanto a expressão final é
\boxed{Z=\left(\dfrac{1}{1-e^{-\beta e}}\right)^{5}.}

Passo 4

(c) Avaliar Z para \beta e = 1/2.
Cálculo passo a passo:
  • Primeiro compute q=e^{-\beta e}=e^{-1/2}. Numericamente
q=e^{-1/2}\approx 0,6065306597.
  • Calcule 1-q:
1-q\approx 0,3934693403.
  • Então
Z=(1-q)^{-5}\approx (0,3934693403)^{-5}.
  • Computando numericamente (arredondando de forma razoável),
Z\approx 106{,}0\quad(\text{aproximadamente}).
(Repare que Z é um número maior que 1 e aqui fica por volta de 10^{2}.)

Passo 5

(d) Distribuição de probabilidades p_{r} (probabilidade de um microestado r com energia E_r).
Teoria e fórmula:
  • No ensemble canônico, a probabilidade de um microestado específico r (com energia E_r) é
p_{r}=\frac{e^{-\beta E_{r}}}{Z}.
Aplicando E_r=\alpha e e q=e^{-\beta e}, para um microestado cujo total de quanta é \alpha,
\boxed{p_{r}=\frac{q^{\alpha}}{Z}.}
Observações úteis de prova/uso:
  • Todos os microestados que possuem a mesma energia E=\alpha e têm a mesma probabilidade p_{r} (pois dependem apenas de E_r).
  • Exemplo numérico rápido para \beta e=1/2: para o microestado de energia E=0 ( \alpha=0 ), temos
p_{r}(\alpha=0)=\frac{1}{Z}\approx \frac{1}{106{,}0}\approx 0{,}00943.

Passo 6

(e) Distribuição de probabilidades p(E_r) (probabilidade do sistema ter energia E_r).
Relação entre microestados e níveis de energia:
  • A probabilidade de o sistema ter energia E=\alpha e é a soma das probabilidades de todos os microestados com essa energia. Como existem \Omega(\alpha e) microestados, cada um com probabilidade q^{\alpha}/Z, temos
p(E=\alpha e)=\Omega(\alpha e)\,\frac{q^{\alpha}}{Z}.
Usando \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4} e Z=(1-q)^{-5}, podemos escrever de forma conveniente:
\boxed{p(E=\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4}\,q^{\alpha}\,(1-q)^{5}.}
(esta forma usa a identidade 1/Z=(1-q)^{5}).
Interpretação: isto é uma distribuição discreta em \alpha com rolamento de um fator combinatório; é uma distribuição do tipo “negativa-binomial” (forma combinatória), normalmente com um pico em algum \alpha>0.
Cálculo numérico (para facilitar o gráfico do item (f)): valores aproximados com \beta e=1/2 ( q\approx 0{,}60653066 e Z\approx 106{,}0). Para \alpha=0,1,\ldots,10 eu apresento \alpha,\\ E=\alpha e, \Omega(\alpha e), p(E=\alpha e) e a probabilidade por microestado p_r (para microestados desse nível):
\begin{aligned} \alpha=0:\\ &E=0,\\ \Omega=1,\\ p(E)\approx 0{,}00943,\\ p_r=\frac{1}{Z}\approx 0{,}00943,\\\ \alpha=1:\\ &E=e,\\ \Omega=5,\\ p(E)\approx 0{,}0286,\\ p_r\approx\frac{q}{Z}\approx 0{,}00286,\\\ \alpha=2:\\ &E=2e,\\ \Omega=15,\\ p(E)\approx 0{,}0520,\\ p_r\approx\frac{q^{2}}{Z}\approx 0{,}00347,\\\ \alpha=3:\\ &E=3e,\\ \Omega=35,\\ p(E)\approx 0{,}0737,\\ p_r\approx\frac{q^{3}}{Z}\approx 0{,}00532,\\\ \alpha=4:\\ &E=4e,\\ \Omega=70,\\ p(E)\approx 0{,}0894,\\ p_r\approx\frac{q^{4}}{Z}\approx 0{,}00128,\\\ \alpha=5:\\ &E=5e,\\ \Omega=126,\\ p(E)\approx 0{,}0976,\\ p_r\approx\frac{q^{5}}{Z}\approx 0{,}00078,\\\ \alpha=6:\\ &E=6e,\\ \Omega=210,\\ p(E)\approx 0{,}0987,\\ p_r\approx\frac{q^{6}}{Z}\approx 0{,}00049,\\\ \alpha=7:\\ &E=7e,\\ \Omega=330,\\ p(E)\approx 0{,}0940,\\ p_r\approx\frac{q^{7}}{Z}\approx 0{,}00028,\\\ \alpha=8:\\ &E=8e,\\ \Omega=495,\\ p(E)\approx 0{,}0855,\\ p_r\approx\frac{q^{8}}{Z}\approx 0{,}00017,\\\ \alpha=9:\\ &E=9e,\\ \Omega=715,\\ p(E)\approx 0{,}0750,\\ p_r\approx\frac{q^{9}}{Z}\approx 0{,}00010,\\\ \alpha=10:\\ &E=10e,\\ \Omega=1001,\\ p(E)\approx 0{,}0636,\\ p_r\approx\frac{q^{10}}{Z}\approx 0{,}00006. \end{aligned}
Nota importante sobre os números acima: foram arredondados para apresentar tendências; para gráficos use maior precisão se necessário. A soma das p(E) para \alpha=0\ldots 10 não é 1 pois há contribuição dos níveis \alpha>10.

Passo 7

(f) Como traçar no mesmo gráfico p_{r},\\ \Omega(E) e p(E) em função de E — instruções práticas e interpretação.
Como preparar os dados para o gráfico:
  1. Escolha um intervalo de \alpha (por exemplo \alpha=0 até \alpha=30 ou \alpha=50) para captar a cauda da distribuição; aqui dei valores até \alpha=10 como exemplo inicial.
  2. Para cada \alpha calcule:
    • E=\alpha e (em \mathrm{eV}, aqui e=0{,}015\\ \mathrm{eV});
    • \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4};
    • p_r(\alpha)=q^{\alpha}/Z (probabilidade de um microestado com essa energia);
    • p(E=\alpha e)=\Omega(\alpha e)\,q^{\alpha}/Z.
  3. Plote no mesmo gráfico:
    • No eixo horizontal: E (ou \alpha, se preferir escala discreta).
    • No eixo vertical: use escala que permita comparar curvas com ordens de grandeza diferentes. Sugestões:
      • Plote \Omega(E) em escala logarítmica (porque cresce rapidamente), ou normalize \Omega dividindo por um fator grande para trazê-la para a mesma faixa de p.
      • Plote p(E) e p_r em escala linear (valores entre 0 e 1). Se quiser todas em uma mesma escala linear, é conveniente normalizar \Omega(E) por sua máxima para visualização.
  4. Observações sobre formas das curvas:
    • \Omega(E) cresce de forma polinomial/combinatória com \alpha (aqui aproximadamente \propto \alpha^{4}/4! para grande \alpha).
    • p_r(\alpha) decai exponencialmente com \alpha (proporcional a q^{\alpha}).
    • p(E) é o produto \Omega(E)\,q^{\alpha}/Z: para \alpha pequenos \Omega ainda pequeno, para \alpha grandes q^\alpha decai muito; por isso p(E) tem um pico numa \alpha intermediária (compromisso entre degenerescência crescente e Boltzmann decrescente). No exemplo numérico com \beta e=1/2 o pico ocorre perto de \alpha\approx 5 ou 6 (ver valores numéricos no passo anterior).
  5. Ferramentas: use Python/matplotlib, Excel, ou outra ferramenta. Código esqueleto (para Python) — só como guia (não esquecendo de envolver expressões matemáticas em TeX se fosse num relatório):
    • Gere vetores \alpha, compute \Omega(\alpha), q^{\alpha}, p_r, p(E), e então plote. Use eixo y em log para \Omega ou uma segunda escala y (twin y) se desejar.
Dica final de moral: para a prova, saiba escrever rapidamente a fórmula combinatória \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4}, derive Z=(1-q)^{-5} e então as distribuições resultam imediatamente por divisão por Z. Isso resolve (b)-(e) de forma direta.

Resposta

(a) \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4}. Tabela até r=11:
r=1:\\ E=0,\\ \Omega=1.
r=2:\\ E=e,\\ \Omega=5.
r=3:\\ E=2e,\\ \Omega=15.
r=4:\\ E=3e,\\ \Omega=35.
r=5:\\ E=4e,\\ \Omega=70.
r=6:\\ E=5e,\\ \Omega=126.
r=7:\\ E=6e,\\ \Omega=210.
r=8:\\ E=7e,\\ \Omega=330.
r=9:\\ E=8e,\\ \Omega=495.
r=10:\\ E=9e,\\ \Omega=715.
r=11:\\ E=10e,\\ \Omega=1001.
(b) Z=\displaystyle\left(\frac{1}{1-e^{-\beta e}}\right)^{5}.
(c) Para \beta e=\tfrac{1}{2}: q=e^{-1/2}\approx 0{,}60653066, Z=(1-q)^{-5}\approx 106{,}0 (aproximado).
(d) Probabilidade de um microestado r com energia E_r=\alpha e:
p_{r}=\frac{e^{-\beta E_{r}}}{Z}=\frac{q^{\alpha}}{Z}.
(e) Probabilidade do sistema ter energia E=\alpha e:
p(E=\alpha e)=\Omega(\alpha e)\,\frac{q^{\alpha}}{Z}=\binom{\alpha+4}{4}\,q^{\alpha}\,(1-q)^{5}.
(f) Para o gráfico: gere pontos para \alpha=0,1,\ldots (por exemplo até 30), compute E=\alpha e, \Omega(\alpha e)=\binom{\alpha+4}{4}, p_{r}=q^{\alpha}/Z e p(E)=\binom{\alpha+4}{4}q^{\alpha}/Z. Plote \Omega(E) (preferivelmente em escala log ou normalizada), e p_r e p(E) em escala linear no mesmo eixo horizontal E. (Use os valores numéricos de exemplo fornecidos no corpo da resolução para \alpha=0\ldots10 se quiser um esboço imediato.)

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