1- Considere um sistema de 5 partículas distintas e não interagentes, cada qual pode ter somente energias
onde
. Estes são os estados individuais de energia. Como as partículas não interagem a energia do sistema pode ser escrita como uma soma de energias privadas:
A soma certamente resultará num multiplo de
, ou seja,
, onde
. O estado do sistema é especificado pelo conjunto dos números quânticos:
. O estado vamos rotular simplesmente por
.
(a) Complete a tabela da degenerescência, ao menos até
.
estado r do sistema
Nivel de energia do sistema
1
1
2
5
3
15
4
5
6
7
8
9
10
11
1001
...
...
…
(b) Calcule a função partição do sistema.
(c) Considerendo
avalie esta função partição.
(d) Tendo a função partição, determine a distribuição de probabilidades
(probabilidade de se encontrar o sistema em um dado estado
de energia
.
(e) Determine a distribuição de probabilidades
(probabilidade do sistema ter um certa energia
)
(f) Trace em um mesmo gráfico
e
em função de E.
(a) Complete a tabela da degenerescência, ao menos até
| estado r do sistema | Nivel de energia do sistema |
|
| 1 |
|
1 |
| 2 |
|
5 |
| 3 |
|
15 |
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 | ||
| 11 |
|
1001 |
| ... | ... | … |
(c) Considerendo
(d) Tendo a função partição, determine a distribuição de probabilidades
(e) Determine a distribuição de probabilidades
(f) Trace em um mesmo gráfico
Passo 1
O enunciado dá um sistema com
partículas distintas e não interagentes. Cada partícula pode ocupar estados de energia
com
. A energia total do sistema é
Definimos
, de modo que
. Um microestado do sistema é o conjunto
. O enunciado pede:
(a) Completar a tabela da degenerescência
(nº de microestados) até o nível
(já vêm alguns valores);
(b) Calcular a função partição
do sistema;
(c) Avaliar
para
;
(d) Determinar a distribuição de probabilidades
(probabilidade de um microestado
com energia
);
(e) Determinar a distribuição
(probabilidade do sistema ter energia
);
(f) Traçar no mesmo gráfico
e
em função de
.
Informações relevantes listadas:
- Número de partículas:
(distintas). - Estados por partícula:
, . - Energia total:
, . - Parte (a) pede degenerescência até
(pois tem já dado). - Não há interação entre partículas (permite fatoração da partição).
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
(a) Encontrar
para cada
(degenerescência).
Explicação didática do método (stars-and-bars / contagem de soluções inteiras não-negativas):
- Queremos contar o número de soluções inteiras não-negativas de
onde
. Cada solução corresponde a um microestado distinto (as partículas são distintas).
- Um resultado combinatório padrão (o método das “barras e estrelas”) diz que o número de soluções é
Breve intuição: imagine
estrelas a serem distribuídas em
caixas; precisamos escolher as
divisórias entre as estrelas+divisórias, daí
.
Agora calculamos explicitamente para
(isto corresponde aos estados
):
Usamos a fórmula .
Calculando cada coeficiente:
Usamos a fórmula
Calculando cada coeficiente:
Preenchendo a tabela pedida (cada linha
estado
com
e
):
-
(dado). -
(dado). -
(dado). -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
(dado).
Observação final do passo: já temos a sequência completa até
.
Passo 3
(b) Função partição
do sistema — derivação passo a passo.
Definição e ideia:
- Em cânonico, a função partição do sistema é
Como as partículas não interagem e são distintas, é muito mais simples construir
a partir da partição de uma partícula.
Partição de uma partícula:
- A partição de uma partícula (chamemos de
) é a soma sobre seus estados:
onde definimos
- A soma é uma série geométrica de razão
(com para ), logo
Partição do sistema de
partículas distintas:
- Para partículas distintas e não interagentes, a função partição total é o produto das partições individuais:
Verificação alternativa somando por níveis de energia:
- Somando por energia
com degenerescência , tem-se
- Esta soma é a expansão da série de binômios generalizada e resulta exatamente em
coincidindo com a fatoração anterior. Portanto a expressão final é
Passo 4
(c) Avaliar
para
.
Cálculo passo a passo:
- Primeiro compute
. Numericamente
- Calcule
:
- Então
- Computando numericamente (arredondando de forma razoável),
(Repare que
é um número maior que
e aqui fica por volta de
.)
Passo 5
(d) Distribuição de probabilidades
(probabilidade de um microestado
com energia
).
Teoria e fórmula:
- No ensemble canônico, a probabilidade de um microestado específico
(com energia ) é
Aplicando
e
, para um microestado cujo total de quanta é
,
Observações úteis de prova/uso:
- Todos os microestados que possuem a mesma energia
têm a mesma probabilidade (pois dependem apenas de ). - Exemplo numérico rápido para
: para o microestado de energia ( ), temos
Passo 6
(e) Distribuição de probabilidades
(probabilidade do sistema ter energia
).
Relação entre microestados e níveis de energia:
- A probabilidade de o sistema ter energia
é a soma das probabilidades de todos os microestados com essa energia. Como existem microestados, cada um com probabilidade , temos
Usando
e
, podemos escrever de forma conveniente:
(esta forma usa a identidade
).
Interpretação: isto é uma distribuição discreta em com rolamento de um fator combinatório; é uma distribuição do tipo “negativa-binomial” (forma combinatória), normalmente com um pico em algum
.
Interpretação: isto é uma distribuição discreta em
Cálculo numérico (para facilitar o gráfico do item (f)): valores aproximados com
(
e
). Para
eu apresento
,
,
e a probabilidade por microestado
(para microestados desse nível):
Nota importante sobre os números acima: foram arredondados para apresentar tendências; para gráficos use maior precisão se necessário. A soma das
para
não é
pois há contribuição dos níveis
.
Passo 7
(f) Como traçar no mesmo gráfico
e
em função de
— instruções práticas e interpretação.
Como preparar os dados para o gráfico:
- Escolha um intervalo de
(por exemplo até ou ) para captar a cauda da distribuição; aqui dei valores até como exemplo inicial. - Para cada
calcule: -
(em , aqui ); -
; -
(probabilidade de um microestado com essa energia); -
.
-
- Plote no mesmo gráfico:
- No eixo horizontal:
(ou , se preferir escala discreta). - No eixo vertical: use escala que permita comparar curvas com ordens de grandeza diferentes. Sugestões:
- Plote
em escala logarítmica (porque cresce rapidamente), ou normalize dividindo por um fator grande para trazê-la para a mesma faixa de . - Plote
e em escala linear (valores entre e ). Se quiser todas em uma mesma escala linear, é conveniente normalizar por sua máxima para visualização.
- Plote
- No eixo horizontal:
- Observações sobre formas das curvas:
-
cresce de forma polinomial/combinatória com (aqui aproximadamente para grande ). -
decai exponencialmente com (proporcional a ). -
é o produto : para pequenos ainda pequeno, para grandes decai muito; por isso tem um pico numa intermediária (compromisso entre degenerescência crescente e Boltzmann decrescente). No exemplo numérico com o pico ocorre perto de ou (ver valores numéricos no passo anterior).
-
- Ferramentas: use Python/matplotlib, Excel, ou outra ferramenta. Código esqueleto (para Python) — só como guia (não esquecendo de envolver expressões matemáticas em TeX se fosse num relatório):
- Gere vetores
, compute , , , , e então plote. Use eixo em log para ou uma segunda escala (twin y) se desejar.
- Gere vetores
Dica final de moral: para a prova, saiba escrever rapidamente a fórmula combinatória
, derive
e então as distribuições resultam imediatamente por divisão por
. Isso resolve (b)-(e) de forma direta.
Resposta
(a)
. Tabela até
:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(b)
(c) Para
:
,
(aproximado).
(d) Probabilidade de um microestado
com energia
:
(e) Probabilidade do sistema ter energia
:
(f) Para o gráfico: gere pontos para
(por exemplo até
), compute
,
,
e
. Plote
(preferivelmente em escala log ou normalizada), e
e
em escala linear no mesmo eixo horizontal
. (Use os valores numéricos de exemplo fornecidos no corpo da resolução para
se quiser um esboço imediato.)