5-20 Encontre d y / d x por derivação implícita.

Passo 1

O enunciado dado é apenas: “5-20 Encontre \dfrac{dy}{dx} por derivação implícita.”
O que isso pede: encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} supondo que y está definida implicitamente por alguma equação envolvendo x e y.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma equação explícita foi fornecida.
Portanto, com os dados atuais não há uma equação específica para diferenciar.

Passo 2

Como procederíamos se tivéssemos a equação implícita? Vou ensinar passo a passo o método de derivação implícita, de forma didática, para você aplicar na prova quando receber a equação.
  1. Ideia geral: quando y não está isolada mas existe uma relação do tipo
F(x,y)=0,
significa que y depende de x (ou pelo menos localmente pode depender), ou seja, y=y(x). Para obter \dfrac{dy}{dx} derivamos ambos os lados da equação em relação a x, aplicando a regra da cadeia sempre que aparecer y.
  1. Regra da cadeia básica: se aparecer uma expressão g(y) (por exemplo y^n, \sin y, \ln y), a derivada em relação a x é
\frac{d}{dx}g(y)=g'(y)\cdot \frac{dy}{dx},
onde g'(y) é a derivada de g em relação a sua variável. Ou seja, multiplica sempre por y', onde escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx}.
  1. Outras regras que normalmente aparecem:
  • Derivada de x^n é n x^{n-1}.
  • Derivada de y^n é n y^{n-1} y' (pela regra da cadeia).
  • Produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u' v+u v'. Se u ou v envolver y, substitua y' apropriadamente.
  • Quociente: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
  • Funções trigonométricas: \dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\cdot y', \dfrac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\cdot y', etc.
  1. Depois de derivar, reúna os termos que contêm y' num lado da equação e os termos sem y' no outro; isole y' e resolva para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Exemplo simples e completo (passo a passo): seja a curva
x^{2}+y^{2}=25.
Passos:
  • Derivar ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}(25).
  • Calcule termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\cdot y', \qquad \frac{d}{dx}(25)=0.
(A derivada de y^{2} usa a regra da cadeia: 2y vezes y'.)
  • Substituindo:
2x+2y\,y'=0.
  • Isolando y':
2y\,y'=-2x \quad\Rightarrow\quad y'=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}.
Interpretação: \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}. Fácil de memorizar e bastante comum em questões de prova.

Passo 4

Exemplo um pouco mais elaborado com produto e função de y:
Se a equação for
x y + \sin y = x^{2},
vamos derivar passo a passo.
  • Derivar ambos os lados:
\frac{d}{dx}(x y)+\frac{d}{dx}(\sin y)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
  • Termo a termo:
    • \dfrac{d}{dx}(x y) usa a regra do produto: (x)'y + x(y)' = 1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
    • \dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\cdot y' (regra da cadeia).
    • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Substituindo:
y + x y' + \cos y \, y' = 2x.
  • Reunir os termos com y':
(x + \cos y)\,y' + y = 2x.
  • Isolar y':
(x + \cos y)\,y' = 2x - y \quad\Rightarrow\quad y'=\frac{2x - y}{x + \cos y}.
Observações: não se pode dividir por zero — atenção a pontos onde x+\cos y=0.

Passo 5

Dicas práticas para a prova (tipo checklist):
  • Sempre deixe claro que y=y(x) e escreva y' quando aparecer derivada de y.
  • Derive termo a termo, aplicando produto/quociente/chain rule quando necessário.
  • Reúna termos com y' num lado; fatorize y' e isole.
  • Simplifique a fração final; a resposta normalmente ficará em termos de x e y.
  • Se pedirem o valor num ponto (x_{0},y_{0}), substitua ambos na expressão final de y'. Não tente substituir y por uma expressão isolada se não for necessário — muitas vezes é mais rápido avaliar diretamente.

Passo 6

Resumo prático: sempre que tiver uma equação implícita qualquer F(x,y)=0, proceda assim:
\text{derivar ambos os lados:}\qquad \frac{d}{dx}F(x,y)=0,
aplique a regra da cadeia nas partes que envolvem y, junte os termos com y' e resolva para y'. Com prática isso vira rotina e é bem rápido na prova.

Resposta

Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx} porque o enunciado não fornece a equação implícita a ser diferenciada.

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