Encontre a solução geral dos sistemas abaixo:
Passo 1
Vou identificar claramente o que o problema dá e o que pede.
- O enunciado fornece o sistema
- O que se pede: encontrar a solução geral
do sistema para real, ou seja, a família de todas as soluções com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Reescrever o sistema em forma matricial e explicar a estratégia.
- Escrevendo vetor
, o sistema pode ser escrito como
onde
- Estratégia: para sistemas lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
, onde é um escalar (autovalor) e um vetor não-nulo (autovetor). Precisamos encontrar os autovalores resolvendo e, para cada , achar um autovetor . Se obtivermos dois autovetores linearmente independentes (aqui a matriz é ), a solução geral é combinação linear das soluções elementares correspondentes.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico
.
- A matriz
é
- O determinante é
Calculemos passo a passo:
e somando o termo vindo do produto
obtemos
Passo 4
Determinar os autovalores resolvendo
.
- Factorizando:
- Logo os autovalores são
Comentário: são dois autovalores reais e distintos, portanto teremos duas soluções elementares independentes e a solução geral será combinação linear delas.
Passo 5
Encontrar um autovetor associado a [\lambda_{1}=2).
- Resolver
. A matriz é
- O sistema linear correspondente é
que é redundante (segunda equação é
.
- Escolhendo
(escolha livre para normalizar), obtemos um autovetor
- Portanto uma solução elementar é
.]
Passo 6
Encontrar um autovetor associado a [\lambda_{2}=3).
- Resolver
. A matriz é
- O sistema linear correspondente é
(essas duas equações são múltiplas uma da outra). Da primeira equação segue
, obtemos um autovetor
- Portanto outra solução elementar é
.]
Passo 7
Escrever a solução geral como combinação linear das soluções elementares e explicitar as componentes.
- Como
e são linearmente independentes, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.
- Escrevendo em coordenadas,
- Portanto, explicitamente,
Passo 8
Verificação rápida (como checar na prova que está certo).
- Diferenciando
e :
- Calculando o lado direito
e usando as fórmulas acima dá exatamente os mesmos termos (fazer as substituições e simplificar), o que confirma que . Isso é uma verificação direta que costuma ser pedida em provas rápidas: derivar e comparar com .