Considere um circuito RL (Resistor Indutor) em série, com uma f.e.m. de 5 volts, uma resistência de 50 ohms e uma indutância de 1 henry. No instante inicial, a corrente no circuito é nula:
.
A equação diferencial que rege a corrente
no circuito RL é dada por:
Determine:
a) a corrente no circuito no instante de tempo
;
b) a corrente quando o tempo tende ao infinito.
A equação diferencial que rege a corrente
a) a corrente no circuito no instante de tempo
b) a corrente quando o tempo tende ao infinito.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- f.e.m.:
. - resistência:
. - indutância:
. - condição inicial:
.
- f.e.m.:
-
A equação diferencial fornecida é
- O enunciado pede:
(a) determinar a correntepara ;
(b) determinar a corrente quando.
Passo 2
Substituir os valores numéricos na equação diferencial para ficar explícito o problema a resolver.
- Como
e , temos
- Como
e , temos
- Portanto a equação que vamos resolver é
Aqui
é a incógnita (a corrente em função do tempo); os números
e
são constantes.
Passo 3
Método de resolução (integrating factor / fator integrante) — explicação didática.
- Estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
onde
e
são constantes. Uma forma prática de resolver é multiplicar a equação por um fator integrante
tal que o lado esquerdo se transforme na derivada de
.
- O fator integrante é
No nosso caso
, logo
Explicação curta do porquê: multiplicando a equação por
obtemos
porque
. Assim o lado esquerdo vira uma derivada exata, o que facilita a integração.
Passo 4
Aplicar o fator integrante, integrar e obter a solução geral.
- Multiplicando a equação
por obtemos
- O lado esquerdo é a derivada de
, logo
- Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
- Simplificando
, temos
- Isolando
,
Aqui
será determinado pela condição inicial.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para achar a constante
e escrever a solução particular.
- Substituindo
em obtemos
- Como
, segue
- Logo a solução particular é
- Comentário físico e forma alternativa com constante de tempo: a constante de tempo do circuito RL é
Podemos reescrever a corrente como
Passo 6
Determinar o valor da corrente quando
.
- Observe que
. Portanto,
- Em unidades,
, ou seja . Fisicamente isso faz sentido: para tempos longos o indutor se comporta como curto-circuito, e a corrente tende ao valor óhmico , que aqui é .
Resposta
(a)
.
(b)
.