Considere um circuito RL (Resistor Indutor) em série, com uma f.e.m. de 5 volts, uma resistência de 50 ohms e uma indutância de 1 henry. No instante inicial, a corrente no circuito é nula: I(0)=0.
A equação diferencial que rege a corrente \mathrm{I}(\mathrm{t}) no circuito RL é dada por:
\frac{d I}{d t}+\frac{R}{L} I=\frac{E}{L}
Determine:
a) a corrente no circuito no instante de tempo t;
b) a corrente quando o tempo tende ao infinito.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • f.e.m.: E=5\\ \text{V}.
    • resistência: R=50\\ \Omega.
    • indutância: L=1\\ \text{H}.
    • condição inicial: I(0)=0.
  • A equação diferencial fornecida é
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}\,I=\frac{E}{L}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a corrente I(t) para t\ge 0;
    (b) determinar a corrente quando t\to\infty.

Passo 2

Substituir os valores numéricos na equação diferencial para ficar explícito o problema a resolver.
  • Como R=50 e L=1, temos
\frac{R}{L}=\frac{50}{1}=50.
  • Como E=5 e L=1, temos
\frac{E}{L}=\frac{5}{1}=5.
  • Portanto a equação que vamos resolver é
\frac{dI}{dt}+50\,I=5.
Aqui I(t) é a incógnita (a corrente em função do tempo); os números 50 e 5 são constantes.

Passo 3

Método de resolução (integrating factor / fator integrante) — explicação didática.
  • Estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
\frac{dI}{dt}+a\,I=b,
onde a e b são constantes. Uma forma prática de resolver é multiplicar a equação por um fator integrante \mu(t) tal que o lado esquerdo se transforme na derivada de \mu(t)I(t).
  • O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int a\,dt}=e^{a t}.
No nosso caso a=50, logo
\mu(t)=e^{50 t}.
Explicação curta do porquê: multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\mu(t)\frac{dI}{dt}+a\,\mu(t)I=\frac{d}{dt}\big(\mu(t)I\big),
porque \frac{d\mu}{dt}=a\mu. Assim o lado esquerdo vira uma derivada exata, o que facilita a integração.

Passo 4

Aplicar o fator integrante, integrar e obter a solução geral.
  • Multiplicando a equação \frac{dI}{dt}+50I=5 por \mu(t)=e^{50 t} obtemos
e^{50 t}\frac{dI}{dt}+50 e^{50 t} I = 5 e^{50 t}.
  • O lado esquerdo é a derivada de I(t)e^{50 t}, logo
\frac{d}{dt}\big(I(t)e^{50 t}\big)=5 e^{50 t}.
  • Integramos ambos os lados em t:
I(t)e^{50 t}=\int 5 e^{50 t}\,dt = \frac{5}{50} e^{50 t} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Simplificando \frac{5}{50}=0,1, temos
I(t)e^{50 t}=0,1\,e^{50 t}+C.
  • Isolando I(t),
I(t)=0,1 + C e^{-50 t}.
Aqui C será determinado pela condição inicial.

Passo 5

Aplicar a condição inicial I(0)=0 para achar a constante C e escrever a solução particular.
  • Substituindo t=0 em I(t)=0,1 + C e^{-50 t} obtemos
I(0)=0,1 + C e^{0}=0,1 + C.
  • Como I(0)=0, segue
0=0,1 + C \quad\Rightarrow\quad C=-0,1.
  • Logo a solução particular é
I(t)=0,1 -0,1\,e^{-50 t}=0,1\big(1-e^{-50 t}\big).
  • Comentário físico e forma alternativa com constante de tempo: a constante de tempo do circuito RL é
\tau=\frac{L}{R}=\frac{1}{50}=0,02\\ \text{s}.
Podemos reescrever a corrente como
I(t)=0,1\big(1-e^{-t/\tau}\big)=0,1\big(1-e^{-t/0,02}\big).

Passo 6

Determinar o valor da corrente quando t\to\infty.
  • Observe que \lim_{t\to\infty}e^{-50 t}=0. Portanto,
\lim_{t\to\infty}I(t)=0,1\big(1-0\big)=0,1.
  • Em unidades, 0,1\\ \text{A}, ou seja 100\\ \text{mA}. Fisicamente isso faz sentido: para tempos longos o indutor se comporta como curto-circuito, e a corrente tende ao valor óhmico E/R, que aqui é \dfrac{5}{50}=0,1\\ \text{A}.

Resposta

(a) I(t)=0,1\big(1-e^{-50 t}\big).
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}I(t)=0,1\\ \text{A}.

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