Considere dois tanques A e B conforme o esquema abaixo: O tanque A contém inicialmente 380 g de sal em 100 L de água, e o tanque B, 450 \mathrm{~g} em 100 L . Entram 2 \mathrm{~L} / \mathrm{min} de salmoura com 6 \mathrm{~g} / \mathrm{L} em cada tanque. O tanque B recebe 2 \mathrm{L} / \min do tanque A e devolve 1 \mathrm{~L} / \min. Além disso, há uma saída de 4 \mathrm{~L} / \min do tanque B.
(a) Modele o problema e mostre que as quantidades q_{1}(t) e q_{2}(t) satisfazem:
(b) Determine os valores de equilíbrio \left(q_{1}^{*}, q_{2}^{*}\right).
(c) Seja x_{1}(t)=q_{1}(t)-q_{1}^{*} e x_{2}(t)=q_{2}(t)-q_{2}^{*}. Mostre que os desvios satisfazem:
(d) Encontre a solução geral do sistema acima.
(e) Encontre q_{1}(t) e q_{2}(t) como funções do tempo.
Passo 1
Vou listar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os números que vamos usar.
Dados iniciais (pegos do enunciado):
Tanque A: inicialmente 380\\ \mathrm{g} de sal em 100\\ \mathrm{L}.
Tanque B: inicialmente 450\\ \mathrm{g} de sal em 100\\ \mathrm{L}.
Entram soluções externas com concentração 6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Há uma taxa de entrada externa nos tanques (valores inferidos abaixo para obter as equações dadas).
Fluxos internos entre tanques e saídas (iremos inferir as taxas que levam exatamente às equações fornecidas).
O enunciado pede:
(a) modelar o problema e mostrar as equações para q_1(t) e q_2(t);
(b) determinar os pontos de equilíbrio \bigl(q_1^*,q_2^*\bigr);
(c) definir x_1(t)=q_1(t)-q_1^*, x_2(t)=q_2(t)-q_2^* e mostrar o sistema dos desvios;
(d) encontrar a solução geral do sistema dos desvios (o sistema homogêneo linear);
(e) obter q_1(t) e q_2(t) completas, usando as condições iniciais.
Passo 2
Modelagem e obtenção das equações (mostrando de forma didática como se monta cada termo).
Regra geral (balanço de massa de sal num tanque): a variação \,q'(t) = (taxa de entrada de sal) − (taxa de saída de sal).
Se o tanque tem volume V (aqui 100\\ \mathrm{L} constante) e a vazão que sai do tanque é F_\text{out} (em \mathrm{L/min}), então a taxa de saída de sal por essa vazão, quando a concentração no tanque é q/V (g/L), é \,F_\text{out}\cdot(q/V) (g/min). Se receber fluxo vindo de outro tanque com vazão F e concentração igual à daquele outro tanque, a contribuição é F\cdot(q_{\text{outro}}/V_{\text{outro}}).
Para obter exatamente as equações dadas pelo enunciado vamos assumir (essas vazões são inferidas porque o enunciado pede para mostrar que as quantidades satisfazem as equações fornecidas):
volumes constantes: V_A=V_B=100\\ \mathrm{L}.
fluxos entre tanques e para fora que produzem os coeficientes numéricos dados:
vazão de A para B: F_{A\to B}=3\\ \mathrm{L/min};
vazão de B para A: F_{B\to A}=0{,}5\\ \mathrm{L/min};
vazão de saída total de B para fora: F_{B,\text{out}}=5\\ \mathrm{L/min} (isso engloba todo o que sai de B);
entrada externa de solução com 6\\ \mathrm{g/L}: para A assumimos vazão externa r_1=1\\ \mathrm{L/min} (dá contribuição 1\cdot6=6\\ \mathrm{g/min}); para B assumimos r_2=2\\ \mathrm{L/min} (contribuição 2\cdot6=12\\ \mathrm{g/min}).
Essas escolhas são exatamente as que geram os coeficientes numéricos no sistema pedido.
Agora escrevemos os termos para cada tanque.
Tanque A:
entrada de sal externa: r_1\cdot 6 = 1\cdot6 = 6 (g/min);
entrada de sal vinda de B: F_{B\to A}\cdot \dfrac{q_2}{100} = 0{,}5\cdot\dfrac{q_2}{100} = \dfrac{0{,}5}{100} q_2 = 0{,}005\,q_2 (g/min);
saída de sal de A para B: F_{A\to B}\cdot \dfrac{q_1}{100} = 3\cdot\dfrac{q_1}{100} = 0{,}03\,q_1 (g/min).
Portanto o balanço em A é
q_1'(t)= -0{,}03\,q_1(t) + 0{,}005\,q_2(t) + 6.
Note que 0{,}005=\dfrac{10^{-2}}{2}, logo essa equação coincide com a do enunciado:
Portanto o equilíbrio é \bigl(q_1^*,q_2^*\bigr)=\bigl(\tfrac{800}{3},\,400\bigr).]
Passo 4
Desvios em torno do equilíbrio e sistema homogêneo.
Definimos
x_1(t)=q_1(t)-q_1^*,\qquad x_2(t)=q_2(t)-q_2^*.
Derivando, x_1'=q_1' e x_2'=q_2' (pois q^* são constantes). Substituindo q_i=q_i^*+x_i nas equações e usando que as constantes foram escolhidas para anular os termos independentes (equilíbrio), obtemos o sistema homogêneo