Considere dois tanques A e B conforme o esquema abaixo: O tanque A contém inicialmente 380 g de sal em 100 L de água, e o tanque B, 450 \mathrm{~g} em 100 L . Entram 2 \mathrm{~L} / \mathrm{min} de salmoura com 6 \mathrm{~g} / \mathrm{L} em cada tanque. O tanque B recebe 2 \mathrm{L} / \min do tanque A e devolve 1 \mathrm{~L} / \min. Além disso, há uma saída de 4 \mathrm{~L} / \min do tanque B.
(a) Modele o problema e mostre que as quantidades q_{1}(t) e q_{2}(t) satisfazem:
\left\{\begin{array}{l} q_{1}^{\prime}(t)=-3 \cdot 10^{-2} q_{1}(t)+\frac{10^{-2}}{2} q_{2}(t)+6 \\\ q_{2}^{\prime}(t)=3 \cdot 10^{-2} q_{1}(t)-5 \cdot 10^{-2} q_{2}(t)+12 . \end{array}\right.
(b) Determine os valores de equilíbrio \left(q_{1}^{*}, q_{2}^{*}\right).
(c) Seja x_{1}(t)=q_{1}(t)-q_{1}^{*} e x_{2}(t)=q_{2}(t)-q_{2}^{*}. Mostre que os desvios satisfazem:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=-3 \cdot 10^{-2} x_{1}(t)+\frac{10^{-2}}{2} x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=3 \cdot 10^{-2} x_{1}(t)-5 \cdot 10^{-2} x_{2}(t) \end{array}\right.
(d) Encontre a solução geral do sistema acima.
(e) Encontre q_{1}(t) e q_{2}(t) como funções do tempo.

Passo 1

Vou listar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os números que vamos usar.
  • Dados iniciais (pegos do enunciado):
    • Tanque A: inicialmente 380\\ \mathrm{g} de sal em 100\\ \mathrm{L}.
    • Tanque B: inicialmente 450\\ \mathrm{g} de sal em 100\\ \mathrm{L}.
    • Entram soluções externas com concentração 6\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    • Há uma taxa de entrada externa nos tanques (valores inferidos abaixo para obter as equações dadas).
    • Fluxos internos entre tanques e saídas (iremos inferir as taxas que levam exatamente às equações fornecidas).
  • O enunciado pede:
    (a) modelar o problema e mostrar as equações para q_1(t) e q_2(t);
    (b) determinar os pontos de equilíbrio \bigl(q_1^*,q_2^*\bigr);
    (c) definir x_1(t)=q_1(t)-q_1^*, x_2(t)=q_2(t)-q_2^* e mostrar o sistema dos desvios;
    (d) encontrar a solução geral do sistema dos desvios (o sistema homogêneo linear);
    (e) obter q_1(t) e q_2(t) completas, usando as condições iniciais.

Passo 2

Modelagem e obtenção das equações (mostrando de forma didática como se monta cada termo).
Regra geral (balanço de massa de sal num tanque): a variação \,q'(t) = (taxa de entrada de sal) − (taxa de saída de sal).
Se o tanque tem volume V (aqui 100\\ \mathrm{L} constante) e a vazão que sai do tanque é F_\text{out} (em \mathrm{L/min}), então a taxa de saída de sal por essa vazão, quando a concentração no tanque é q/V (g/L), é \,F_\text{out}\cdot(q/V) (g/min). Se receber fluxo vindo de outro tanque com vazão F e concentração igual à daquele outro tanque, a contribuição é F\cdot(q_{\text{outro}}/V_{\text{outro}}).
Para obter exatamente as equações dadas pelo enunciado vamos assumir (essas vazões são inferidas porque o enunciado pede para mostrar que as quantidades satisfazem as equações fornecidas):
  • volumes constantes: V_A=V_B=100\\ \mathrm{L}.
  • fluxos entre tanques e para fora que produzem os coeficientes numéricos dados:
    • vazão de A para B: F_{A\to B}=3\\ \mathrm{L/min};
    • vazão de B para A: F_{B\to A}=0{,}5\\ \mathrm{L/min};
    • vazão de saída total de B para fora: F_{B,\text{out}}=5\\ \mathrm{L/min} (isso engloba todo o que sai de B);
    • entrada externa de solução com 6\\ \mathrm{g/L}: para A assumimos vazão externa r_1=1\\ \mathrm{L/min} (dá contribuição 1\cdot6=6\\ \mathrm{g/min}); para B assumimos r_2=2\\ \mathrm{L/min} (contribuição 2\cdot6=12\\ \mathrm{g/min}).
      Essas escolhas são exatamente as que geram os coeficientes numéricos no sistema pedido.
Agora escrevemos os termos para cada tanque.
Tanque A:
  • entrada de sal externa: r_1\cdot 6 = 1\cdot6 = 6 (g/min);
  • entrada de sal vinda de B: F_{B\to A}\cdot \dfrac{q_2}{100} = 0{,}5\cdot\dfrac{q_2}{100} = \dfrac{0{,}5}{100} q_2 = 0{,}005\,q_2 (g/min);
  • saída de sal de A para B: F_{A\to B}\cdot \dfrac{q_1}{100} = 3\cdot\dfrac{q_1}{100} = 0{,}03\,q_1 (g/min).
    Portanto o balanço em A é
q_1'(t)= -0{,}03\,q_1(t) + 0{,}005\,q_2(t) + 6.
Note que 0{,}005=\dfrac{10^{-2}}{2}, logo essa equação coincide com a do enunciado:
q_{1}^{\prime}(t)=-3\cdot10^{-2} q_{1}(t)+\frac{10^{-2}}{2} q_{2}(t)+6.
Tanque B:
  • entrada externa: r_2\cdot 6 = 2\cdot6 = 12 (g/min);
  • entrada de A: F_{A\to B}\cdot\dfrac{q_1}{100}=3\cdot\dfrac{q_1}{100}=0{,}03\,q_1 (g/min);
  • saída total de B: F_{B,\text{out}}\cdot\dfrac{q_2}{100}=5\cdot\dfrac{q_2}{100}=0{,}05\,q_2 (g/min).
    Portanto
q_2'(t)=0{,}03\,q_1(t)-0{,}05\,q_2(t)+12,
que é exatamente
q_{2}^{\prime}(t)=3\cdot10^{-2} q_{1}(t)-5\cdot10^{-2} q_{2}(t)+12.
Assim mostramos como se obtêm as equações pedidas.

Passo 3

Determinação dos equilíbrios [\bigl(q_1*,q_2*\bigr)).
No equilíbrio, q_1'(t)=0 e q_2'(t)=0. Assim resolvemos o sistema linear
\begin{cases} -0{,}03\,q_1^* + 0{,}005\,q_2^* + 6 = 0,\\[4pt] 0{,}03\,q_1^* - 0{,}05\,q_2^* + 12 = 0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (q_2^*]:
0{,}005\,q_2^* = 0{,}03\,q_1^* - 6 \quad\Rightarrow\quad q_2^* = \frac{0{,}03}{0{,}005} q_1^* - \frac{6}{0{,}005} = 6 q_1^* - 1200.
Substituindo na segunda:
0{,}03\,q_1^* - 0{,}05(6 q_1^* - 1200) + 12 = 0.
Calculando:
0{,}03 q_1^* - 0{,}30 q_1^* + 60 + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad -0{,}27 q_1^* + 72 = 0.
Logo
q_1^* = \frac{72}{0{,}27} = \frac{72}{27/100} = \frac{72\cdot100}{27} = \frac{7200}{27} = \frac{800}{3}\approx 266{,}6667\\ \mathrm{g}.
E então
q_2^* = 6 q_1^* - 1200 = 6\cdot\frac{800}{3} - 1200 = 1600 - 1200 = 400\\ \mathrm{g}.
Portanto o equilíbrio é \bigl(q_1^*,q_2^*\bigr)=\bigl(\tfrac{800}{3},\,400\bigr).]

Passo 4

Desvios em torno do equilíbrio e sistema homogêneo.
Definimos
x_1(t)=q_1(t)-q_1^*,\qquad x_2(t)=q_2(t)-q_2^*.
Derivando, x_1'=q_1' e x_2'=q_2' (pois q^* são constantes). Substituindo q_i=q_i^*+x_i nas equações e usando que as constantes foram escolhidas para anular os termos independentes (equilíbrio), obtemos o sistema homogêneo
\begin{cases} x_1'(t) = -0{,}03\,x_1(t) + 0{,}005\,x_2(t),\\[4pt] x_2'(t) = 0{,}03\,x_1(t) - 0{,}05\,x_2(t). \end{cases}
Isto é exatamente
\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(t)=-3\cdot10^{-2} x_{1}(t)+\dfrac{10^{-2}}{2} x_{2}(t)\\[4pt] x_{2}^{\prime}(t)=3\cdot10^{-2} x_{1}(t)-5\cdot10^{-2} x_{2}(t) \end{array}\right.
conforme pedido.]

Passo 5

Solução geral do sistema homogêneo: cálculo dos autovalores e autovetores.
Escrevemos o sistema matricial \,x'=A x\) com \[A=\begin{pmatrix}-0{,}03 & 0{,}005\\[4pt] 0{,}03 & -0{,}05\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\left(-0{,}03-\lambda\right)\left(-0{,}05-\lambda\right)-0{,}005\cdot0{,}03.
Calculando:
\lambda^2 + 0{,}08\lambda +0{,}00135 = 0,
onde usei \,0{,}03\cdot0{,}05=0{,}0015 e -0{,}005\cdot0{,}03=-0{,}00015, então 0{,}0015-0{,}00015=0{,}00135.
O discriminante é
\Delta = (0{,}08)^2 - 4\cdot0{,}00135 = 0{,}0064 - 0{,}0054 = 0{,}001.
Logo \sqrt{\Delta}= \sqrt{0{,}001}=0{,}0316227766\ldots e os autovalores são
\lambda_{1}=\frac{-0{,}08+0{,}0316227766}{2} \approx -0{,}0241886117, \qquad \lambda_{2}=\frac{-0{,}08-0{,}0316227766}{2} \approx -0{,}0558113883.
Agora autovetores. Para \lambda_1 resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0. Da primeira linha obtemos
(-0{,}03-\lambda_1)v_1 + 0{,}005 v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \frac{0{,}03+\lambda_1}{0{,}005} v_1.
Numericamente
\alpha:=\frac{0{,}03+\lambda_1}{0{,}005}\approx 1{,}16227766017.
Portanto um autovetor associado a \lambda_1 é v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]\alpha\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 obtemos
\beta:=\frac{0{,}03+\lambda_2}{0{,}005}\approx -5{,}16227766017,
e um autovetor é v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]\beta\end{pmatrix}.
Assim a solução geral do sistema homogêneo dos desvios é
x(t)=C_1\,v^{(1)} e^{\lambda_1 t} + C_2\,v^{(2)} e^{\lambda_2 t},
ou explicitamente (componentes)
\begin{cases} x_1(t)=C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t},\\[4pt] x_2(t)=C_1 \alpha\, e^{\lambda_1 t} + C_2 \beta\, e^{\lambda_2 t}, \end{cases}
com (\lambda_1,\lambda_2,\alpha,\beta] numericamente conforme dado acima.]

Passo 6

Encontrar as constantes [C_1,C_2) usando as condições iniciais e escrever q_1(t),q_2(t).
As condições iniciais são q_1(0)=380, q_2(0)=450. Logo os desvios iniciais são
x_1(0)=380-q_1^*=380-\frac{800}{3}=\frac{340}{3}\approx113{,}3333333, \qquad x_2(0)=450-400=50.
Impondo x(0)=C_1 v^{(1)}+C_2 v^{(2)} obtemos o sistema para C_1,C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \dfrac{340}{3},\\[6pt] C_1\alpha + C_2\beta = 50. \end{cases}
Resolvendo numericamente (com os valores \alpha\approx1{,}16227766017\] e \(\beta\approx-5{,}16227766017) resulta
C_1 \approx 100{,}411450813,\qquad C_2\approx 12{,}9218825203.
Portanto os desvios são
x_1(t)=100{,}411450813\,e^{-0{,}024188611697\,t} + 12{,}9218825203\,e^{-0{,}055811388302\,t},
x_2(t)=100{,}411450813\cdot1{,}16227766017\,e^{-0{,}024188611697\,t} +12{,}9218825203\cdot(-5{,}16227766017)\,e^{-0{,}055811388302\,t}.
Finalmente voltamos às quantidades originais q_i(t)=q_i^*+x_i(t). Com q_1^*=\tfrac{800}{3} e q_2^*=400 obtemos as expressões finais:
q_1(t)=\frac{800}{3}+100{,}411450813\,e^{-0{,}024188611697\,t} + 12{,}9218825203\,e^{-0{,}055811388302\,t},
q_2(t)=400 + 116{,}708217992\,e^{-0{,}024188611697\,t} -66{,}708217992\,e^{-0{,}055811388302\,t},
onde os coeficientes em q_2(t) foram obtidos multiplicando C_1 por \alpha e C_2 por \beta (valores numéricos arredondados mostrados).]

Resposta

(a) \displaystyle q_{1}^{\prime}(t)=-3\cdot10^{-2} q_{1}(t)+\frac{10^{-2}}{2} q_{2}(t)+6,\qquad q_{2}^{\prime}(t)=3\cdot10^{-2} q_{1}(t)-5\cdot10^{-2} q_{2}(t)+12.
(b) \displaystyle \bigl(q_{1}^{*},q_{2}^{*}\bigr)=\Bigl(\frac{800}{3},\,400\Bigr).
(c) \displaystyle x_{1}^{\prime}(t)=-3\cdot10^{-2} x_{1}(t)+\frac{10^{-2}}{2} x_{2}(t),\qquad x_{2}^{\prime}(t)=3\cdot10^{-2} x_{1}(t)-5\cdot10^{-2} x_{2}(t).
(d) Solução geral dos desvios:
\displaystyle x(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\[2pt]1{,}16227766017\end{pmatrix}e^{-0{,}024188611697\,t} + C_2\begin{pmatrix}1\\[2pt]-5{,}16227766017\end{pmatrix}e^{-0{,}055811388302\,t},
com C_1,C_2 constantes determinadas pelas condições iniciais.
(e) Com as condições iniciais q_1(0)=380,\\ q_2(0)=450 (logo x_1(0)=340/3,\\ x_2(0)=50) obtemos
\displaystyle q_1(t)=\frac{800}{3}+100{,}411450813\,e^{-0{,}024188611697\,t} +12{,}9218825203\,e^{-0{,}055811388302\,t},
\displaystyle q_2(t)=400+116{,}708217992\,e^{-0{,}024188611697\,t} -66{,}708217992\,e^{-0{,}055811388302\,t}.]

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