Encontre a excentricidade, identifique a cônica, dê uma equação da diretriz e esboce a cônica:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polar que representa uma cônica: $ r = \frac{6}{1 + 2 \sin \theta} $. O conteúdo aqui envolve cônicas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender a forma geral das cônicas em polar, identificar a excentricidade, determinar que tipo de cônica é, encontrar a equação da diretriz e por fim esboçar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares é:
onde:
- $ e $ é a excentricidade,
- $ d $ é a distância da origem à diretriz.
Comparando com a nossa equação $ r = \frac{6}{1 + 2 \sin \theta} $, podemos identificar que o denominador $ 1 + 2 \sin \theta $ corresponde a $ 1 + e \sin \theta $. Então, o coeficiente de $ \sin \theta $ nos dá a excentricidade $ e $.
Passo 3
Vamos identificar a excentricidade $ e $. Na nossa comparação:
A excentricidade nos diz o tipo de cônica:
- Se $ e = 0 $, é um círculo.
- Se $ 0 < e < 1 $, é uma elipse.
- Se $ e = 1 $, é uma parábola.
- Se $ e > 1 $, é uma hipérbole.
No nosso caso, $ e = 2 $, que é maior que 1, então a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a distância $ d $ da origem à diretriz. Na nossa equação, o numerador é $ ed = 6 $. Sabemos que $ e = 2 $, então:
Então, a distância da origem à diretriz é 3 unidades.
Passo 5
Vamos escrever a equação da diretriz. Em coordenadas polares, a diretriz de uma cônica com $ \sin \theta $ no denominador está a uma distância $ d $ ao sul (porque o sinal é positivo). A equação de uma linha horizontal a uma distância $ d $ do polo (origem) é:
Substituindo $ d = 3 $:
Então, a equação da diretriz é $ y = -3 $.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar a hipérbole. Sabemos que:
- A excentricidade é 2, indicando uma hipérbole.
- A diretriz está em $ y = -3 $.
- A origem está no foco da hipérbole.
Para esboçar, desenhe um sistema de coordenadas, coloque a diretriz em $ y = -3 $, marque a origem como o foco, e desenhe a hipérbole que se abre para cima e para baixo em relação ao eixo $ y $, já que a $ \sin \theta $ indica orientação vertical.
Resposta
A excentricidade é $ e = 2 $. A cônica é uma hipérbole. A equação da diretriz é $ y = -3 $. O esboço da hipérbole apresenta a origem como foco e a diretriz em $ y = -3 $, abrindo-se verticalmente.