Se considera la función f(x)=e^-xx^2+1 y se pide:
b) Estudiar la existencia de asíntotas de f y, en su caso, determinarlas.

Passo 1

El enunciado pide estudiar las asíntotas de la función f(x)=e^-xx^2+1. Vamos a ver si tiene asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, usando las definiciones que implican calcular ciertos límites.

Passo 2

Para buscar asíntotas verticales comprobamos ceros del denominador: x^2+1=0 no tiene raíces reales. Como el dominio es todo R y no hay singularidades, no hay asíntotas verticales.

Passo 3

Para las asíntotas horizontales calculamos los límites en los extremos del dominio. Primero,
limxto+infty e^-xx^2+1 = 0,
así que hay una asíntota horizontal y=0 cuando xto+infty. Luego,
limxto-infty e^-xx^2+1 = limtto+infty e^tt^2+1 = +infty,
donde tomamos t=-x. Como el límite es infinito, no hay asíntota horizontal para xto-infty.

Passo 4

Para comprobar posibles asíntotas oblicuas usamos la pendiente
m = limxtopminfty f(x)x

Passo 5

Para xto+infty se ve que
f(x)x = e^-xx(x^2+1) to 0,
pero ya tenemos la horizontal y=0. Para xto-infty el cociente
e^-xx(x^2+1) = e^|x|-|x|^3+o(x^3) to -infty,
así que no hay pendiente finita y, por tanto, no hay asíntotas oblicuas.

Passo 6

En resumen, la única asíntota es la horizontal y=0 por la derecha; no existen asíntotas verticales ni oblicuas.

Resposta

La función tiene una asíntota horizontal y=0 para xto+infty y no presenta asíntotas verticales ni oblicuas.

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