20 Um físico ansioso teme que as duas prateleiras metálicas de uma estante de madeira possam atingir uma alta voltagem se carregadas por eletricidade estática, talvez produzida por fricção. (a) Qual é a capacitância das prateleiras vazias se elas têm área de 1,00 times 10^2 m^2 e estão separadas por 0,200 m ? (b) Qual é a voltagem entre elas se cargas opostas de módulo 2,00 nC forem colocadas sobre elas? (c) Para mostrar que essa voltagem apresenta um pequeno risco, calcule a energia armazenada. (d) As prateleiras reais têm uma área 100 vezes menor do que essas prateleiras hipotéticas, mantendo a mesma voltagem. Seus medos são justificados?

Passo 1

O problema trata de duas prateleiras metálicas que formam um capacitor de placas paralelas. Vamos usar os conceitos de capacitância, diferença de potencial e energia armazenada em um capacitor:
– A capacitância de um capacitor de placas paralelas é
C = epsilon0,Ad
onde epsilon0 é a permissividade do vácuo, A a área de cada placa e d a separação entre elas.
– A voltagem entre as placas, para uma carga de módulo Q, é
V = QC,
– A energia armazenada é
U = tfrac12,C,V^2 (ou) U = Q^22,C,

Passo 2

Calcular a capacitância com
epsilon0 = 8,85times10^-12,F/m, A = 1,00times10^2,m^2, d = 0,200,m
Logo,
C = 8,85times10^-12,1,00times10^20,200 = 4,43times10^-9,F

Passo 3

Com carga Q = 2,00times10^-9,C, a voltagem é
V = QC = 2,00times10^-94,43times10^-9 = 0,452,V

Passo 4

A energia armazenada vale
U = tfrac12,C,V^2 = tfrac12,(4,43times10^-9),(0,452)^2 = 4,52times10^-10,J

Passo 5

Para prateleiras reais com área A' = A/100, a capacitância cai para
C' = C100 = 4,43times10^-11,F,
mas mantemos a mesma voltagem V=0,452,V. Então a nova carga é
Q' = C',V = 4,43times10^-11times0,452 = 2,00times10^-11,C,
e a energia
U' = tfrac12,C',V^2 = 4,52times10^-12,J
Esse valor é absolutamente desprezível e a voltagem de apenas 0,45,V não causa choque.

Resposta

(a) 4,43times10^-9,F
(b) 0,452,V
(c) 4,52times10^-10,J
(d) Não há perigo significativo, pois a energia e a voltagem são muito pequenas.

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