20 Um fluxo elétrico líquido de 1.0 times 10^4 N cdot m^2 / C atravessa a superfície de uma esfera de raio 5 cm , com sentido para o interior da esfera. (a) Quanta carga há dentro da esfera? (b) Com que precisão podemos determinar a localização da carga a partir dessa informação?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um fluxo elétrico líquido de
$\displaystyle 1.0\times10^{4}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$
passando pela superfície de uma esfera de raio 5 cm, e esse fluxo está entrando (sentido para o interior).
Conteúdo: vamos usar a Lei de Gauss para calcular a carga total encoberta pela esfera. Precisamos saber a constante da permissividade do vácuo $\varepsilon_{0}$ e aplicar a relação
$\displaystyle \Phi = \dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}}$.

Passo 2

Primeiro, relembrando a Lei de Gauss:
$ \displaystyle \Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_{0}} $.
Aqui, $\Phi$ é o fluxo elétrico pela superfície fechada, e $Q_{int}$ é a carga líquida dentro dessa superfície.

Passo 3

A gente já sabe o valor do fluxo:
$\displaystyle \Phi = -,1.0\times10^{4}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}$
(é negativo porque o fluxo está entrando, e o sinal padrão da normal é para fora).
A constante da permissividade do vácuo é
$\displaystyle \varepsilon_{0} = 8.854\times10{-12} \mathrm{C{2}/(N\cdot m^{2})}$.
Então isolamos $Q_{int}$:
Phi = -,1.0times10^4 Ncdot m^2/C

Passo 4

Sobre a localização da carga: a Lei de Gauss só dá a carga total dentro da superfície, mas não diz onde ela está localizada. Pode estar bem no centro, perto da borda, dividida em vários pedaços… tudo isso gera o mesmo fluxo total.
Então a gente não consegue “chutar” em que ponto dentro da esfera a carga fica.

Resposta

(a) $Q_{int} = -8{,}85\times10^{-8}\ \mathrm{C}$.
(b) Nenhuma precisão: a partir do fluxo elétrico, não dá pra saber onde, dentro da esfera, a carga está localizada.

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