Uma casca esférica fina, condutora, de raio
, está uniformemente carregada com uma carga total
. Por integração direta, encontre o potencial em um ponto arbitrário
fora da casca.
fora da casca.
Passo 1
O enunciado nos dá: uma casca esférica fina, condutora, de raio
, com carga total
distribuída uniformemente sobre a superfície. A tarefa é: por integração direta, encontrar o potencial elétrico em um ponto arbitrário fora da casca.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Raio da casca:
. - Carga total na casca:
. - O ponto onde queremos o potencial está a uma distância
do centro da casca, com (fora da casca). - A distribuição é uniforme na superfície (densidade superficial constante).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (potencial devido a uma distribuição superficial de carga):
onde:
-
é a permissividade do vácuo; -
é a densidade superficial de carga no ponto de fonte ; -
é o elemento de área da superfície.
Como a carga é uniforme na superfície, a densidade superficial é
Escolhemos coordenadas esféricas centradas na casca e, sem perda de generalidade (por simetria), colocamos o ponto de observação sobre o eixo polar (
-axis) a uma distância
do centro. Seja
a posição de um elemento de área na casca. A distância entre o ponto de observação e o elemento de carga é, pela lei dos cossenos,
Passo 3
Escrever o integral usando
e
constante:
A integranda não depende de
, portanto a integração em
dá um fator
:
Passo 4
Fazer a substituição
para simplificar a integral em
. Então
e quando
temos
, quando
temos
. Assim:
Defina
e
. A integral fica
. Uma primitiva é
, pois derivando obtemos
. Avaliando entre
e
:
Substituindo
:
Como
,
e
. Então a integral vale
Passo 5
Voltar ao valor de
. Temos
Simplificando os fatores:
, e
. Portanto
Interpretação física rápida: o potencial fora da casca é exatamente igual ao de uma carga pontual
colocada no centro da casca — resultado consistente com a simetria esférica e com o teorema de Gauss.