1-16 Encontre o divergente do vetor
Encontre também o rotacional.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- Encontrar o divergente de
. - Encontrar o rotacional (curl) de
.
As componentes do campo são, escrevendo
:
Passo 2
O que é o divergente e como vamos calculá‑lo?
O divergente de um campo vetorial é a soma das derivadas parciais das respectivas componentes em relação às suas variáveis:
O divergente de um campo vetorial
Aqui
significa: derivar
tratando
e
como constantes, e analogamente para as outras. Vou calcular cada termo separadamente.
Passo 3
Calcular
com
.
- A derivada de
em relação a é . - O termo
é tratado como constante quando derivamos em relação a , logo sua derivada é .
Portanto
Passo 4
Calcular
com
.
- A derivada de
em relação a é . - O termo
é constante em relação a , então sua derivada é .
Logo
Passo 5
Calcular
com
.
- A derivada de
em relação a é . - O termo
é constante em relação a , então sua derivada é .
Assim
Passo 6
Agora somo os três termos para obter o divergente:
Passo 7
Agora o rotacional (curl). O rotacional de
é o vetor
Vou calcular cada derivada parcial necessária e montar as três componentes.
Passo 8
Calcular as derivadas para a primeira componente:
e
.
- Com
, (pois é constante e ). - Com
, (pois ).
Logo a primeira componente é
Passo 9
Segunda componente:
e
.
- Com
, (pois ). - Com
, (pois ).
Portanto a segunda componente é
Passo 10
Terceira componente:
e
.
- Com
, (pois ). - Com
, (pois ).
Assim a terceira componente é
Passo 11
Todas as três componentes do rotacional deram zero, então
Comentário didático rápido e animador: quando o rotacional é o vetor nulo em todo
(e o campo é suficientemente suave), isso indica que o campo é conservativo — ou seja, existe uma função potencial
tal que
. Para ver isso explicitamente, integra-se
em
:
Comparando com
e
determina‑se
, de modo que uma potencial é