1-16 Encontre o divergente do vetor
\mathbf{i}\left(x^{2}+y z\right)+\mathbf{j}\left(y^{2}+z x\right)+\mathbf{k}\left(z^{2}+x y\right)
Encontre também o rotacional.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F} = \mathbf{i}\left(x^{2}+y z\right)+\mathbf{j}\left(y^{2}+z x\right)+\mathbf{k}\left(z^{2}+x y\right)
e pede duas coisas:
  • Encontrar o divergente de \mathbf{F}.
  • Encontrar o rotacional (curl) de \mathbf{F}.
As componentes do campo são, escrevendo \mathbf{F}=(P,Q,R):
P(x,y,z)=x^{2}+y z,\qquad Q(x,y,z)=y^{2}+z x,\qquad R(x,y,z)=z^{2}+x y.

Passo 2

O que é o divergente e como vamos calculá‑lo?
O divergente de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) é a soma das derivadas parciais das respectivas componentes em relação às suas variáveis:
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Aqui \dfrac{\partial P}{\partial x} significa: derivar P tratando y e z como constantes, e analogamente para as outras. Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial P}{\partial x} com P(x,y,z)=x^{2}+y z.
  • A derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • O termo y z é tratado como constante quando derivamos em relação a x, logo sua derivada é 0.
    Portanto
\frac{\partial P}{\partial x}=2x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial y} com Q(x,y,z)=y^{2}+z x.
  • A derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
  • O termo z x é constante em relação a y, então sua derivada é 0.
    Logo
\frac{\partial Q}{\partial y}=2y.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial R}{\partial z} com R(x,y,z)=z^{2}+x y.
  • A derivada de z^{2} em relação a z é 2z.
  • O termo x y é constante em relação a z, então sua derivada é 0.
    Assim
\frac{\partial R}{\partial z}=2z.

Passo 6

Agora somo os três termos para obter o divergente:
\operatorname{div}\mathbf{F}=2x+2y+2z=2(x+y+z).

Passo 7

Agora o rotacional (curl). O rotacional de \mathbf{F}=(P,Q,R) é o vetor
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Vou calcular cada derivada parcial necessária e montar as três componentes.

Passo 8

Calcular as derivadas para a primeira componente: \dfrac{\partial R}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial z}.
  • Com R=z^{2}+x y, \dfrac{\partial R}{\partial y}=x (pois z^{2} é constante e \partial(xy)/\partial y = x).
  • Com Q=y^{2}+z x, \dfrac{\partial Q}{\partial z}=x (pois \partial(zx)/\partial z = x).
    Logo a primeira componente é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x-x=0.

Passo 9

Segunda componente: \dfrac{\partial P}{\partial z} e \dfrac{\partial R}{\partial x}.
  • Com P=x^{2}+y z, \dfrac{\partial P}{\partial z}=y (pois \partial(yz)/\partial z = y).
  • Com R=z^{2}+x y, \dfrac{\partial R}{\partial x}=y (pois \partial(xy)/\partial x = y).
    Portanto a segunda componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-y=0.

Passo 10

Terceira componente: \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
  • Com Q=y^{2}+z x, \dfrac{\partial Q}{\partial x}=z (pois \partial(zx)/\partial x = z).
  • Com P=x^{2}+y z, \dfrac{\partial P}{\partial y}=z (pois \partial(yz)/\partial y = z).
    Assim a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=z-z=0.

Passo 11

Todas as três componentes do rotacional deram zero, então
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Comentário didático rápido e animador: quando o rotacional é o vetor nulo em todo \mathbb{R}^{3} (e o campo é suficientemente suave), isso indica que o campo é conservativo — ou seja, existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi. Para ver isso explicitamente, integra-se P em x:
\varphi(x,y,z)=\int (x^{2}+y z)\,dx=\tfrac{1}{3}x^{3}+x y z+C(y,z).
Comparando com Q e R determina‑se C(y,z)=\tfrac{1}{3}y^{3}+\tfrac{1}{3}z^{3}, de modo que uma potencial é
\varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{3}y^{3}+\tfrac{1}{3}z^{3}+x y z + \text{const}.

Resposta

\operatorname{div}\mathbf{F}=2(x+y+z)
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}

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