Exercício 3: Um componente de uma aeronave é fabricado a partir de uma liga de alumínio que possui uma tenacidade à fratura em deformação plana de 40 MPa . Foi determinado que a fratura ocorre sob uma tensão de 300 MPa , quando o comprimento máximo (ou crítico) de uma trinca interna é de 4,0 \mathrm{~mm}. Para esse mesmo componente e para essa mesma liga, ocorrerá fratura sob um nível de tensão de 260 MPa , quando o comprimento máximo de uma trinca interna for de 6,0 \mathrm{~mm} ? Por que sim ou por que não?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tenacidade à fratura em deformação plana: K_{IC}=40\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}}.
    • Caso conhecido (fratura ocorreu): tensão \sigma_1=300\\ \text{MPa} quando o comprimento crítico da trinca interna é a_1=4{,}0\\ \text{mm}.
    • Novo caso a testar: tensão \sigma_2=260\\ \text{MPa} com comprimento de trinca a_2=6{,}0\\ \text{mm}.
  • Pergunta do enunciado:
    • Para o mesmo componente e mesma liga, ocorrerá fratura sob \sigma_2=260\\ \text{MPa} quando a_2=6{,}0\\ \text{mm}? Dizer “sim” ou “não” e justificar.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O que é K_{IC}?
    • \;K_{IC} é a tenacidade à fratura no estado de deformação plana: é o valor crítico do fator de intensidade de tensão acima do qual uma trinca cresce instavelmente (ou seja, ocorre fratura). Tem unidade \text{Pa}\,\text{m}^{1/2} (normalmente expressa em \text{MPa}\sqrt{\text{m}}).
  • O que é o fator de intensidade de tensão K_I?
    • K_I mede a intensidade das tensões na ponta da trinca para um dado estado de carregamento. Se K_I\ge K_{IC}, a fratura ocorre; se K_I<K_{IC}, a trinca não cresce criticamente.
  • Fórmula geral (para modos comuns e trincas longas):
    • K_I = Y\,\sigma\,\sqrt{\pi a},onde:
      • K_I é o fator de intensidade de tensão ( \text{Pa}\,\text{m}^{1/2});
      • Y é um fator geométrico adimensional que depende da forma e posição da trinca no componente (por exemplo, trinca central, trinca de bordo, etc.);
      • \sigma é a tensão aplicada (em \text{Pa});
      • a é uma medida do comprimento da trinca (em \text{m}); na fórmula usa-se a mesma definição de a nos dois casos para manter coerência.
  • Estratégia para resolver:
    1. Usar o primeiro caso conhecido ( K_{IC}, \sigma_1, a_1) para determinar o fator geométrico Y (assumindo que é o mesmo para o componente e para os dois comprimentos de trinca).
    2. Calcular K_I no segundo caso usando esse Y.
    3. Comparar K_I com K_{IC}. Se K_I\ge K_{IC} então ocorrerá fratura.

Passo 3

Determinar Y a partir do caso conhecido.
  • Primeira, converter unidades para o SI:
    • a_1=4{,}0\\ \text{mm}=4{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.
    • \sigma_1=300\\ \text{MPa}=300\times10^{6}\\ \text{Pa}.
    • K_{IC}=40\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}}=40\times10^{6}\\ \text{Pa}\,\text{m}^{1/2}.
  • A partir de \;K_{IC}=Y\,\sigma_1\sqrt{\pi a_1}, isolamos Y:
    Y=\dfrac{K_{IC}}{\sigma_1\sqrt{\pi a_1}}.
  • Calcular passo a passo:
    • Primeiro o radicando: \pi a_1=\pi\cdot(4{,}0\times10^{-3}).
    • \pi a_1=\pi\cdot4{,}0\times10^{-3}\approx 3{,}1416\cdot4{,}0\times10^{-3}=0{,}0125664\\ \text{m}.
    • \sqrt{\pi a_1}=\sqrt{0{,}0125664}\approx 0{,}1121\\ \text{m}^{1/2}.
    • Produto \sigma_1\sqrt{\pi a_1}=(300\times10^{6})\cdot0{,}1121\approx 33{,}63\times10^{6}\\ \text{Pa}\,\text{m}^{1/2}.
    • Finalmente Y=\dfrac{40\times10^{6}}{33{,}63\times10^{6}}\approx 1{,}19.
  • Interpretação curta: obtemos Y\approx1{,}19. Esse valor é razoável para uma trinca que não é estritamente central (onde Y\approx1) nem exatamente de bordo (onde Y\approx1{,}12 dependendo da geometria); o importante é assumir que a geometria do componente e o tipo de trinca não mudam entre os casos, então usamos esse Y para o segundo caso.

Passo 4

Calcular K_I no segundo caso ( \sigma_2=260\\ \text{MPa}, a_2=6{,}0\\ \text{mm}) usando o Y encontrado.
  • Converter unidades:
    • a_2=6{,}0\\ \text{mm}=6{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}.
    • \sigma_2=260\\ \text{MPa}=260\times10^{6}\\ \text{Pa}.
  • Fórmula:
    K_I = Y\,\sigma_2\sqrt{\pi a_2}.
  • Calcular passo a passo:
    • \pi a_2=\pi\cdot(6{,}0\times10^{-3})\approx 3{,}1416\cdot6{,}0\times10^{-3}=0{,}0188496\\ \text{m}.
    • \sqrt{\pi a_2}=\sqrt{0{,}0188496}\approx 0{,}1373\\ \text{m}^{1/2}.
    • Produto \sigma_2\sqrt{\pi a_2}=(260\times10^{6})\cdot0{,}1373\approx 35{,}70\times10^{6}\\ \text{Pa}\,\text{m}^{1/2}.
    • Multiplicando pelo fator geométrico Y\approx1{,}19: K_I \approx 1{,}19\cdot 35{,}70\times10^{6}\approx 42{,}4\times10^{6}\\ \text{Pa}\,\text{m}^{1/2}.
    • Em unidades usuais: K_I \approx 42{,}4\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}}.

Passo 5

Comparação e conclusão (interpretação física, e comentário sobre hipóteses).
  • Comparação:
    • \;K_I\approx 42{,}4\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}} e \;K_{IC}=40\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}}.
    • Como K_I>K_{IC}, a condição de fratura crítica é satisfeita.
  • Conclusão objetiva:
    • Sim, ocorrerá fratura sob \sigma_2=260\\ \text{MPa} quando a_2=6{,}0\\ \text{mm}, porque o fator de intensidade de tensão excede a tenacidade do material.
  • Observação sobre hipóteses (importante na prova):
    • Foi assumido que o mesmo fator geométrico Y vale para as duas situações (mesma posição e tipo de trinca no componente). Se a geometria ou a posição da trinca mudassem, Y poderia mudar e o resultado precisaria ser reavaliado.
    • O cálculo também assume regime linear elástico da ponta de trinca (aplicável quando a zona plástica for pequena comparada ao comprimento da trinca), que é a hipótese usual para usar K_I.

Resposta

Sim. Porque \;K_I\approx 42{,}4\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}}>K_{IC}=40\\ \text{MPa}\sqrt{\text{m}}.

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