20-\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+e^{-x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva (antiderivada) da função
20 \;-\;\int\biggl(\frac{1}{\sqrt{x}}+e^{-x}\biggr)\,dx.
O conteúdo é cálculo de antiderivadas usando a linearidade da integral.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de linearidade da integral:
\int\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x}} + e^{-x}\Bigr)dx = \int x^{-\tfrac12}dx \;+\;\int e^{-x}dx.

Passo 3

Calculamos a primeira integral. Como x^{-\tfrac12}=1/\sqrt{x},
\int x^{-\tfrac12}dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12} = 2\sqrt{x}.

Passo 4

Calculamos a segunda integral:
\int e^{-x}dx = -\,e^{-x}.

Passo 5

Somando e voltando ao enunciado, obtemos
\int\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x}}+e^{-x}\Bigr)dx = 2\sqrt{x} \;-\; e^{-x} + C.
Então
20 \;-\;\int\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x}}+e^{-x}\Bigr)dx = 20 \;-\;(2\sqrt{x}-e^{-x}) + C = 20 \;-\;2\sqrt{x} + e^{-x} + C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

20 -2\sqrt{x} + e^{-x} + C.

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